UNICAMP 2025 (2ª fase) — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a temperatura do gás no ponto $f$, em °C; (b) o trabalho que o gás realiza na expansão de $i$ até $f$.

Item (a) — lendo o gráfico. No ponto $i$: $P_i = 10{,}0 \times 10^4$ Pa, $V_i = 12{,}0 \times 10^4$ m³ e $T_i = 7 + 273 = 280$ K. No ponto $f$: $P_f = 7{,}0 \times 10^4$ Pa e $V_f = 15{,}0 \times 10^4$ m³.

Item (a) — equação geral dos gases. A quantidade de gás não muda, então $PV/T = nR$ é constante. A temperatura tem de estar em kelvin:

$$\frac{P_i V_i}{T_i} = \frac{P_f V_f}{T_f}$$

$$T_f = T_i \cdot \frac{P_f}{P_i} \cdot \frac{V_f}{V_i}$$

$$T_f = 280 \cdot \frac{7{,}0}{10{,}0} \cdot \frac{15{,}0}{12{,}0}$$

$$T_f = 280 \cdot \frac{105}{120} = 245\ \text{K}$$

$$\theta_f = 245 - 273 = -28\ ^{\circ}\text{C}$$

Conferindo: o gás esfriou ao se expandir, como o ar que sobe a montanha na história do vento Föhn.

Item (b) — trabalho é área. Numa expansão, o trabalho do gás é a área sob a curva no diagrama $P \times V$, entre $V_i$ e $V_f$ e até $P = 0$. Cada retângulo da grade vale:

$$\Delta\tau = 0{,}5 \times 10^{4} \cdot 1{,}0 \times 10^{4}$$

$$\Delta\tau = 5{,}0 \times 10^{7}\ \text{J}$$

Item (b) — contando os retângulos. Entre $V = 12{,}0$ e $V = 15{,}0$ há 6 colunas de largura 0,5. Somando os retângulos inteiros com os pedaços cortados pela curva, as colunas têm cerca de 9,7; 9,1; 8,5; 8,0; 7,6 e 7,2 retângulos. O total é cerca de 50 retângulos:

$$\tau \approx 50 \cdot 5{,}0 \times 10^{7}$$

$$\tau \approx 2{,}5 \times 10^{9}\ \text{J}$$

Conferindo: se a linha fosse reta, a área seria a de um trapézio, $\frac{(10 + 7)}{2} \times 3 \times 10^8 = 2{,}55 \times 10^9$ J. A curva passa um pouco abaixo da reta, por isso a área é um pouco menor: $\approx 2{,}5 \times 10^9$ J. A resposta esperada da banca chega aos mesmos 50 retângulos.

⚠️ A armadilha: no item (a), usar 7 °C direto na equação dos gases: daria $T_f = 7 \times 105/120 \approx 6$ °C, errado. A conta só vale em kelvin. No item (b), esquecer as potências de 10 dos dois eixos: cada retângulo vale $10^4 \times 10^4 = 10^8$ vezes o produto dos números lidos.

A ideia em uma frase: PV/T é constante com T em kelvin; e o trabalho de um gás é a área sob a curva no diagrama P × V.

Resposta: (a) $T_f = 245$ K, ou seja, $\theta_f = -28$ °C; (b) $\tau \approx 2{,}5 \times 10^{9}$ J.