UNICAMP 2024 (2ª fase) — questão 9 de Física

DiscursivaHidrostática — empuxo no barco com o peixe dentro ou fora; Elasticidade — módulo de Young da linha de pesca2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 9 de Física do UNICAMP 2024 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

O livro “O velho e o mar”, de Ernest Hemingway, publicado em 1952, relata a pesca de um peixe de mais de meia tonelada pelo velho Santiago. Após abater o peixe, Santiago pensou: “Mesmo que fôssemos dois homens e o virássemos para pô-lo cá dentro, e esvaziássemos o barco, afundaríamos com o peso. Tenho que preparar tudo, encostá-lo ao barco, prendê-lo bem, fixar o mastro e tomar a direção para a costa”.

a) Um barco de pesca tem massa total $m_B$ , incluindo pescador e equipamentos, e consegue deslocar um volume máximo de água $V_B$ na iminência de ser inundado. Um peixe de massa $m_P$ e volume $V_P$ pode ser transportado no interior do barco ou amarrado do lado de fora. Com o peixe dentro, o barco fica na iminência de ser inundado (figura A); nesse caso, o volume de água deslocada pelo barco é $V_B$ . Já com o peixe amarrado fora do barco, o conjunto “barco + peixe” fica parcialmente submerso (figura B), com um volume de água deslocada igual a $\alpha\cdot(V_B + V_P)$ . Nesse último caso, qual é a fração submersa, $\alpha$ , se $V_P = 0{,}25\,V_B$ ?

(Figura A: o barco, com o peixe dentro, afundado até a borda: o nível da água coincide com a borda do barco. Figura B: o peixe preso ao lado do barco; o barco fica com parte do casco acima do nível da água, e o peixe, parcialmente submerso.)

b) A linha de pesca deve suportar, sem se romper, uma força de tração da ordem do peso do peixe fisgado. Antes da ruptura, a linha se deforma como uma mola sujeita à força de tração exercida pelo peixe. A constante de mola é dada por $k = E\left(A/L\right)$ sendo E o módulo de Young do material, A a área da seção circular reta e L o comprimento da linha. Se para certa linha de pesca $E = 3{,}0 \times 10^{9}\ \text{N/m}^2$ , qual deve ser o seu diâmetro se desejarmos que a deformação relativa, $\left(\Delta L/L\right)$ , sem que haja ruptura, seja de 10% para uma força de tração de módulo $T = 900$ N?

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2024, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) que fração do volume “barco + peixe” fica submersa quando o peixe vai amarrado do lado de fora; (b) o diâmetro da linha que estica 10% sob 900 N.

Item (a) — equilíbrio: peso = empuxo. O conjunto flutua parado nas duas situações, e o empuxo é o peso da água deslocada, $\rho_{\text{água}} V_{\text{desl}}\,g$ . O peso total, $(m_B + m_P)g$ , é o mesmo nas duas.

Peixe dentro (figura A):

$(m_B + m_P)\,g = \rho\,V_B\,g$

Peixe fora (figura B):

$(m_B + m_P)\,g = \rho\,\alpha\,(V_B + V_P)\,g$

Item (a) — comparando. Os lados esquerdos são iguais, então os volumes deslocados também são:

$V_B = \alpha\,(V_B + V_P)$

$\alpha = \frac{V_B}{V_B + 0{,}25\,V_B} = \frac{1}{1{,}25}$

$\alpha = 0{,}8$

O que isso mostra: com o peixe dentro, só o casco desloca água, e o barco fica no limite. Com o peixe fora, o próprio corpo do peixe também desloca água, e o conjunto fica com 20% do volume total de folga. Santiago tinha razão em amarrar o peixe ao lado do barco.

Item (b) — lei de Hooke com a constante dada. A tração estica a linha de $\Delta L$ , com $T = k\,\Delta L$ e $k = EA/L$ :

$T = E\,A\,\frac{\Delta L}{L}$

$A = \frac{T}{E\,(\Delta L/L)}$

$A = \frac{900}{3{,}0 \times 10^{9} \times 0{,}10}$

$A = 3{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$

Item (b) — da área ao diâmetro. A seção é um círculo de diâmetro $d$ , então $A = \pi d^2/4$ . Com $\pi \approx 3$ , como faz a banca:

$d^2 = \frac{4A}{\pi} = \frac{4 \times 3{,}0 \times 10^{-6}}{3}$

$d^2 = 4{,}0 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$

$d = 2{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2{,}0\ \text{mm}$

(Com $\pi = 3{,}14$ , $d \approx 1{,}95$ mm, praticamente o mesmo.)

⚠️ A armadilha: no item (a), achar que, por ser o mesmo peso, a fração submersa seria a mesma: o que se mantém é o volume de água deslocada ( $V_B$ ), mas agora ele se divide entre barco e peixe, num volume total maior. No item (b), usar $A = \pi d^2$ com o diâmetro no lugar do raio daria $d = 1{,}0$ mm, metade do certo; e usar “10” em vez de 0,10 para a deformação relativa daria um fio cem vezes menor em área.

A ideia em uma frase: mesmo peso, mesmo volume de água deslocada; e uma linha que estica 10% com 900 N precisa de área $T/(E \cdot 0{,}1)$ .

Resposta: (a) $\alpha = 0{,}8$ ; (b) $A = 3{,}0 \times 10^{-6}$ m² e $d = 2{,}0$ mm.

Vídeo em breve

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