UNICAMP 2024 (2ª fase) — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a capacitância e a carga do microcapacitor; (b) o espaçamento $d$ da grade, usando o feixe conhecido, e depois o comprimento de onda $\lambda_2$, preenchendo a Tabela 2.

Item (a) i — capacitância. O enunciado descreve $C = K\varepsilon_0 A/e$. Passando para o SI: $A = 2{,}0\ \mu$m² $= 2{,}0 \times 10^{-12}$ m² (porque $1\ \mu\text{m} = 10^{-6}$ m) e $e = 0{,}1 \times 10^{-6}$ m:

$$C = \frac{K\varepsilon_0 A}{e}$$

$$C = \frac{4 \times 9 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-12}}{10^{-7}}$$

$$C = 7{,}2 \times 10^{-16}\ \text{F}$$

Item (a) ii — carga:

$$Q = CV = 7{,}2 \times 10^{-16} \times 5{,}0$$

$$Q = 3{,}6 \times 10^{-15}\ \text{C}$$

Item (b) — o ângulo pelo diagrama. O feixe difratado, a distância $D$ até o anteparo e a altura $y$ formam um triângulo retângulo, então $\text{tg}\,\theta = y/D$. Depois, a Tabela 1 dá o ângulo e o seno.

Item (b) i — primeira linha ($\lambda_1$, $m = 2$, $y = 0{,}28$ m):

$$\text{tg}\,\theta = \frac{0{,}28}{0{,}5} = 0{,}56$$

Pela Tabela 1, $\theta = 29^{\circ}$ e $\text{sen}\,\theta = 0{,}48$. Na relação da grade:

$$d = \frac{m\lambda_1}{\text{sen}\,\theta} = \frac{2 \times 192}{0{,}48}$$

$$d = 800\ \text{nm}$$

Item (b) ii — segunda linha ($\lambda_2$, $m = 1$). No diagrama, o feixe $m = 1,\ \lambda_2$ chega em $y \approx 0{,}17$ m:

$$\text{tg}\,\theta = \frac{0{,}17}{0{,}5} = 0{,}34$$

Pela Tabela 1, $\theta = 19^{\circ}$ e $\text{sen}\,\theta = 0{,}33$. A grade é a mesma ($d = 800$ nm):

$$\lambda_2 = \frac{d\,\text{sen}\,\theta}{m} = \frac{800 \times 0{,}33}{1}$$

$$\lambda_2 = 264\ \text{nm}$$

A Tabela 2 preenchida fica:

Conferindo: para $\lambda_1$ em $m = 1$, $\text{sen}\,\theta = 192/800 = 0{,}24$, ângulo de cerca de 14° e $y \approx 0{,}5 \times 0{,}25 \approx 0{,}12$ m, exatamente onde o diagrama mostra o feixe $m = 1,\ \lambda_1$.

⚠️ A armadilha: no item (b), usar diretamente $y/D$ como seno (0,56 no lugar de 0,48): daria $d = 2 \times 192/0{,}56 \approx 686$ nm, errado. A razão $y/D$ é a tangente; o seno vem da Tabela 1. No item (a), converter μm² como se fosse μm: $(10^{-6}\ \text{m})^2 = 10^{-12}$ m².

A ideia em uma frase: capacitância é $K\varepsilon_0 A/e$ e carga é $CV$; na grade, a altura no anteparo dá a tangente, a tabela dá o seno, e $d\,\text{sen}\,\theta = m\lambda$ dá $d$ e depois $\lambda_2$.

Resposta: (a) i) $C = 7{,}2 \times 10^{-16}$ F; ii) $Q = 3{,}6 \times 10^{-15}$ C; (b) i) $\text{tg}\,\theta = 0{,}56$, $\text{sen}\,\theta = 0{,}48$ e $d = 800$ nm; ii) $y = 0{,}17$ m, $\text{tg}\,\theta = 0{,}34$, $\text{sen}\,\theta = 0{,}33$ e $\lambda_2 = 264$ nm.