UNICAMP 2023 (2ª fase) — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a força centrípeta sobre o Hubble na sua órbita; (b) a quantidade de movimento do Webb, lendo a velocidade no gráfico.

Item (a) — o raio da órbita. O Hubble gira em torno do centro da Terra, então o raio da órbita é o raio da Terra mais a altura:

$$r = R_T + h = 6400 + 600$$

$$r = 7000\ \text{km} = 7{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$$

Item (a) — a velocidade angular. Uma volta ($2\pi$) a cada $T_H = 100$ min $= 6000$ s. Com $\pi \approx 3$, como faz a banca:

$$\omega = \frac{2\pi}{T_H} = \frac{2 \times 3}{6000}$$

$$\omega = 1{,}0 \times 10^{-3}\ \text{rad/s}$$

Item (a) — a força centrípeta. No movimento circular uniforme, a resultante aponta para o centro e vale massa vezes aceleração centrípeta, $a_{cp} = \omega^2 r$:

$$F_{cp} = m_H\,\omega^2 r$$

$$F_{cp} = 1{,}1 \times 10^{4} \times 10^{-6} \times 7{,}0 \times 10^{6}$$

$$F_{cp} = 7{,}7 \times 10^{4}\ \text{N}$$

Com $\pi = 3{,}14$, o resultado sobe para cerca de $8{,}4 \times 10^{4}$ N; as duas estimativas são aceitáveis, já que todos os dados são aproximados.

Outro caminho (também na resposta esperada): essa força centrípeta é a própria atração gravitacional da Terra, $F = m_H\,g(r)$, com $g$ caindo com o inverso do quadrado da distância ao centro. Usando $g = 10$ m/s² na superfície (valor que a banca adota) e $(6400/7000)^2 \approx 0{,}8$, a banca chega a $F \approx 8{,}8 \times 10^{4}$ N. A diferença entre os dois caminhos vem só das aproximações de $\pi$, $g$, $R_T$, $h$ e $T_H$.

Item (b) — a velocidade, lida no gráfico. Cada linha vertical da grade é um dia. No início do 9º dia (8 dias depois do lançamento) a distância percorrida é $8{,}0 \times 10^{8}$ m; no início do 19º dia, $12{,}0 \times 10^{8}$ m. Como a velocidade é constante nesse trecho:

$$\Delta s = (12 - 8{,}0) \times 10^{8}$$

$$\Delta s = 4{,}0 \times 10^{8}\ \text{m}$$

$$\Delta t = 10 \times 8 \times 10^{4} = 8 \times 10^{5}\ \text{s}$$

$$v_W = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{4{,}0 \times 10^{8}}{8 \times 10^{5}}$$

$$v_W = 500\ \text{m/s}$$

Item (b) — a quantidade de movimento. Por definição, $p = m v$:

$$p = 6000 \times 500$$

$$p = 3 \times 10^{6}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$$

⚠️ A armadilha: no item (a), usar a altura de 600 km como raio da órbita: a força sairia $6{,}6 \times 10^{3}$ N, mais de dez vezes menor. O raio é medido a partir do centro da Terra. Também é comum esquecer de passar 100 min para segundos. No item (b), dividir a distância total do gráfico (12 × 10⁸ m) pelo tempo total desde o lançamento dá uma velocidade média de toda a viagem, e não a do trecho pedido.

A ideia em uma frase: força centrípeta é $m\omega^2 r$ com $r$ contado do centro da Terra; quantidade de movimento é massa vezes a velocidade, que sai da inclinação do gráfico distância × tempo.

Resposta: (a) $F_{cp} = m_H\omega^2 r \approx 7{,}7 \times 10^{4}$ N (pelo caminho gravitacional, cerca de $8{,}8 \times 10^{4}$ N); (b) $v_W = 500$ m/s e $p = 3 \times 10^{6}$ kg·m/s.