UNICAMP 2023 (2ª fase) — questão 11 de Física

DiscursivaEstática — pressão sobre colunas e equilíbrio de uma caixa em dois apoios2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 11 de Física do UNICAMP 2023 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Na natureza, observa-se que a razão entre o diâmetro dos membros de sustentação de um animal e a sua altura é tanto menor quanto menor for o animal (ver figura A). Todavia, os diminutos seres humanos descritos no livro “Viagens de Gulliver” (Jonathan Swift, 1726) e no filme “Downsizing” (2017) têm essa razão mantida, diferentemente do que ocorre na natureza. Para ilustrar o comportamento da natureza, vamos tratar um caso simples: duas caixas cúbicas de água, uma grande – com lado $S = 4{,}0$ m e massa $M = 6{,}4 \times 10^{4}$ kg –, e outra pequena – com lado $s = S/4 = 1{,}0$ m e massa $m = 1{,}0 \times 10^{3}$ kg.

(Figura A: à esquerda, um homem de altura $H$ , com o diâmetro $D$ da coxa indicado. À direita, duas colunas. “natureza”: $d/h < D/H$ , com uma mosca de altura $h$ e diâmetro de perna $d$ . “Gulliver”: $d/h = D/H$ , com um homenzinho de altura $h$ e diâmetro de perna $d$ .)

a) Suponha que cada caixa esteja em equilíbrio estático e seja sustentada por uma coluna de seção reta quadrada, centrada no fundo, conforme a figura B. Os lados das colunas são $D = 0{,}4$ m (caixa grande) e d (caixa pequena). Qual deve ser o tamanho d dos lados da coluna da caixa pequena para que a pressão exercida sobre essa coluna seja igual à pressão exercida pela caixa grande sobre a sua própria coluna?

(Figura B: um cubo de lado S ou s apoiado sobre uma única coluna de seção reta quadrada, de lado D ou d, centrada sob o fundo do cubo.)

b) Vamos supor agora que o equilíbrio estático da caixa grande seja garantido por duas colunas de sustentação. As forças atuando na caixa são: o peso $\vec{P}$ , no centro de massa CM, e as forças $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ exercidas pelas colunas. As linhas (tracejadas) de atuação das três forças estão contidas no plano vertical mostrado na figura C (no espaço de respostas). O módulo do torque resultante sobre a caixa, em relação ao ponto O, é dado por: $|\vec{\tau}_O| = |\vec{P}|\,x_1 - |\vec{F}_2|\,(x_1 + x_2)$ , sendo $x_1 = 1{,}8$ m e $x_2 = 0{,}6$ m.

Calcule os módulos das forças $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ .

(Figura C: a caixa apoiada em duas colunas. A linha de ação de $\vec{F}_1$ , vertical para cima, passa pelo ponto O e fica sobre a coluna da esquerda. O peso $\vec{P}$ , para baixo, atua no CM, à distância horizontal $x_1$ à direita da linha de O. A força $\vec{F}_2$ , para cima, atua sobre a coluna da direita, à distância horizontal $x_2$ à direita do CM.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2023, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o lado da coluna da caixa pequena para ela sofrer a mesma pressão que a coluna da caixa grande; (b) as forças das duas colunas que equilibram a caixa grande.

Atenção: no próprio PDF oficial, a figura A sai cortada na borda direita, e a relação do caso “Gulliver” aparece truncada; pelo texto (“têm essa razão mantida”), ela é $d/h = D/H$ , e foi assim que a transcrevemos.

Item (a) — pressão é força por área. A coluna sustenta o peso da caixa, distribuído na sua seção quadrada:

$p_{\text{grande}} = \frac{Mg}{D^2}$

$p_{\text{pequena}} = \frac{mg}{d^2}$

Igualando as duas pressões, o $g$ se cancela:

$\frac{M}{D^2} = \frac{m}{d^2} \Rightarrow \frac{d^2}{D^2} = \frac{m}{M} = \frac{1}{64}$

$\frac{d}{D} = \frac{1}{8}$

$d = \frac{0{,}40}{8} = 0{,}05\ \text{m} = 5\ \text{cm}$

O que isso mostra: a caixa pequena tem lado 4 vezes menor ( $s/S = 1/4$ ), mas a sua coluna pode ser 8 vezes mais fina ( $d/D = 1/8$ ). Proporcionalmente, o “membro” do corpo pequeno é mais fino: $d/s < D/S$ , exatamente o que se vê na natureza. Isso acontece porque o peso cai com o cubo do tamanho e a área da coluna só com o quadrado.

Item (b) — o peso. Com $g = 10$ m/s² (valor que a banca usa):

$P = Mg = 6{,}4 \times 10^{4} \times 10$

$P = 6{,}4 \times 10^{5}\ \text{N}$

Item (b) — torque resultante nulo. Em equilíbrio, o torque em relação a qualquer ponto é zero. Em relação a $O$ , a força $\vec{F}_1$ não gira a caixa (sua linha passa por $O$ ), o que facilita:

$P\,x_1 - F_2\,(x_1 + x_2) = 0$

$F_2 = \frac{x_1}{x_1 + x_2}\,P$

$F_2 = \frac{1{,}8}{2{,}4} \times 6{,}4 \times 10^{5}$

$F_2 = 4{,}8 \times 10^{5}\ \text{N}$

Item (b) — força resultante nula. As duas colunas, juntas, seguram todo o peso:

$F_1 + F_2 = P$

$F_1 = 6{,}4 \times 10^{5} - 4{,}8 \times 10^{5}$

$F_1 = 1{,}6 \times 10^{5}\ \text{N}$

Conferindo: a coluna da direita, mais perto do CM (0,6 m contra 1,8 m), carrega mais: $F_2/F_1 = 3 = 1{,}8/0{,}6$ , como numa gangorra.

⚠️ A armadilha: no item (b), usar só $x_2$ como braço de $\vec{F}_2$ : daria $F_2 = P \cdot 1{,}8/0{,}6 = 3P$ , maior que o próprio peso, absurdo. O braço é a distância de $O$ até a linha de $\vec{F}_2$ , isto é, $x_1 + x_2 = 2{,}4$ m. No item (a), igualar os lados em vez das áreas ( $d/D = m/M$ ) daria uma coluna de 6 mm.

A ideia em uma frase: pressão igual com peso 64 vezes menor pede área 64 vezes menor, ou lado 8 vezes menor; e no equilíbrio, torque zero e força zero dão as duas reações.

Resposta: (a) $d = D/8 = 0{,}05$ m $= 5$ cm; (b) $F_2 = 4{,}8 \times 10^{5}$ N e $F_1 = 1{,}6 \times 10^{5}$ N.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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