UNICAMP 2023 (2ª fase) — questão 14 de Física

DiscursivaÓptica — sensor de fibra óptica (inclinação do gráfico); Eletrodinâmica — ponte de extensômetros2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 14 de Física do UNICAMP 2023 (2ª fase)

Enunciado em texto

a) Fibras ópticas são fibras feitas com materiais transparentes como o vidro ou plástico, amplamente utilizadas na transmissão de dados. Uma outra aplicação importante das fibras ópticas é no desenvolvimento de sensores. Por exemplo, uma fibra óptica com uma microestrutura periódica no seu núcleo reflete luz em apenas um comprimento de onda (λB\lambda_B), sendo que a luz não refletida continua seu caminho. O comprimento de onda refletido é dado por λB=2nΛ\lambda_B = 2n\Lambda, sendo nn o índice de refração do núcleo da fibra e Λ\Lambda o período da microestrutura. Essa característica é explorada para monitoramento de deformações mecânicas, pois Λ\Lambda varia quando a fibra é esticada, produzindo uma variação ΔλB\Delta\lambda_B no comprimento de onda da luz refletida. Observa-se que ΔλBλB=μΔε\dfrac{\Delta\lambda_B}{\lambda_B} = \mu\Delta\varepsilon, sendo Δε\Delta\varepsilon a variação relativa do comprimento da fibra, e μ\mu uma constante característica do sensor. O gráfico no espaço de respostas mostra a curva de ΔλB\Delta\lambda_B em função de Δε\Delta\varepsilon obtida na caracterização de um sensor para o qual n=1,5n = 1{,}5 e Λ=3×10−7\Lambda = 3 \times 10^{-7} m. Encontre a constante característica μ\mu desse sensor.

(Gráfico: ΔλB\Delta\lambda_B (10−1210^{-12} m), de 0 a 1500, em função de Δε\Delta\varepsilon (10−610^{-6}), de 0 a 2000. Pontos experimentais em torno de uma reta (“linha para guia visual”) que sai da origem e passa por 750 em 1000 e por 1500 em 2000.)

b) Strain-gauges (extensômetros) são sensores muito empregados em engenharia para medir a deformação de estruturas. Usualmente são resistores elétricos, fixados na estrutura, que sofrem, com a deformação, variação na sua resistência elétrica. O esquema da figura ao lado mostra um circuito elétrico com fonte de tensão V0=24V_0 = 24 V e quatro sensores dispostos numa estrutura. Com a deformação, dois deles têm sua resistência elétrica aumentada, passando de R=100 ΩR = 100\ \Omega para R+ΔRR + \Delta R, enquanto que os outros dois têm a resistência elétrica reduzida de R=100 ΩR = 100\ \Omega para R−ΔRR - \Delta R. Antes da deformação (ΔR=0)(\Delta R = 0), ΔV=Va−Vb=0\Delta V = V_a - V_b = 0. Encontre ΔV\Delta V após uma deformação que produz uma variação ΔR=0,25 Ω\Delta R = 0{,}25\ \Omega.

(Figura: circuito com três ramos verticais ligados ao mesmo fio de cima e ao mesmo fio de baixo. No ramo do meio, a fonte V0V_0, com o polo positivo (traço maior) para cima. Ramo da esquerda, de cima para baixo: R−ΔRR - \Delta R, o ponto VaV_a e R+ΔRR + \Delta R. Ramo da direita, de cima para baixo: R+ΔRR + \Delta R, o ponto VbV_b e R−ΔRR - \Delta R.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2023, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a constante μ\mu do sensor óptico, a partir da inclinação do gráfico; (b) a diferença de potencial Va−VbV_a - V_b na ponte de extensômetros depois da deformação.

Item (a) — juntando as duas relações. Com λB=2nΛ\lambda_B = 2n\Lambda:

μ=1λB⋅ΔλBΔε=12nΛ⋅ΔλBΔε\mu = \frac{1}{\lambda_B}\cdot\frac{\Delta\lambda_B}{\Delta\varepsilon} = \frac{1}{2n\Lambda}\cdot\frac{\Delta\lambda_B}{\Delta\varepsilon}

Item (a) — o comprimento de onda refletido:

λB=2×1,5×3×10−7\lambda_B = 2 \times 1{,}5 \times 3 \times 10^{-7}

λB=9×10−7 m\lambda_B = 9 \times 10^{-7}\ \text{m}

Item (a) — a inclinação da reta. ΔλB/Δε\Delta\lambda_B/\Delta\varepsilon é a inclinação do gráfico. A reta passa pela origem e por (2000; 1500), lembrando as potências de 10 dos eixos:

ΔλBΔε=1500×10−122000×10−6\frac{\Delta\lambda_B}{\Delta\varepsilon} = \frac{1500 \times 10^{-12}}{2000 \times 10^{-6}}

ΔλBΔε=7,5×10−7 m\frac{\Delta\lambda_B}{\Delta\varepsilon} = 7{,}5 \times 10^{-7}\ \text{m}

Item (a) — a constante:

μ=7,5×10−79×10−7≈0,83\mu = \frac{7{,}5 \times 10^{-7}}{9 \times 10^{-7}} \approx 0{,}83

(μ\mu é adimensional: metro dividido por metro.)

Item (b) — corrente em cada ramo. Os dois ramos laterais estão ligados direto à fonte, então cada um está sob V0=24V_0 = 24 V. A resistência de cada ramo não muda com a deformação, porque um resistor aumenta ΔR\Delta R e o outro diminui ΔR\Delta R:

Rramo=(R−ΔR)+(R+ΔR)R_{\text{ramo}} = (R - \Delta R) + (R + \Delta R)

Rramo=2RR_{\text{ramo}} = 2R

i=V02R=24200=0,12 Ai = \frac{V_0}{2R} = \frac{24}{200} = 0{,}12\ \text{A}

Item (b) — os potenciais dos pontos. Tomando o fio de baixo como zero (polo negativo), o potencial de cada ponto é a tensão no resistor de baixo do seu ramo. À esquerda, embaixo está R+ΔRR + \Delta R; à direita, R−ΔRR - \Delta R:

Va=(R+ΔR) i=100,25×0,12V_a = (R + \Delta R)\,i = 100{,}25 \times 0{,}12

Va=12,03 VV_a = 12{,}03\ \text{V}

Vb=(R−ΔR) i=99,75×0,12V_b = (R - \Delta R)\,i = 99{,}75 \times 0{,}12

Vb=11,97 VV_b = 11{,}97\ \text{V}

ΔV=Va−Vb=2 ΔR i\Delta V = V_a - V_b = 2\,\Delta R\,i

ΔV=2×0,25×0,12\Delta V = 2 \times 0{,}25 \times 0{,}12

ΔV=0,06 V=60 mV\Delta V = 0{,}06\ \text{V} = 60\ \text{mV}

Atalho: ΔV=2ΔR⋅V0/(2R)=V0 ΔR/R=24×0,0025=0,06\Delta V = 2\Delta R \cdot V_0/(2R) = V_0\,\Delta R/R = 24 \times 0{,}0025 = 0{,}06 V. Uma variação de 0,25% na resistência vira 60 mV na saída, fácil de medir: é por isso que se usa a ponte com quatro sensores.

⚠️ A armadilha: no item (a), ler a inclinação esquecendo as potências de 10 dos eixos (10−1210^{-12} m e 10−610^{-6}): 1500/2000=0,751500/2000 = 0{,}75 daria μ\mu absurdo, da ordem de 10610^{6}. No item (b), achar que a ponte continua equilibrada porque “a resistência total não mudou”: ela não muda em cada ramo, mas a divisão da tensão dentro de cada ramo muda, e em sentidos opostos nos dois lados.

A ideia em uma frase: μ\mu é a inclinação do gráfico dividida por λB\lambda_B; na ponte, a corrente de cada ramo fica igual, mas os pontos do meio se desequilibram de 2ΔR i2\Delta R\,i.

Resposta: (a) λB=9×10−7\lambda_B = 9 \times 10^{-7} m, inclinação 7,5×10−77{,}5 \times 10^{-7} m e μ≈0,83\mu \approx 0{,}83; (b) ΔV=Va−Vb=0,06\Delta V = V_a - V_b = 0{,}06 V =60= 60 mV.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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