UNICAMP 2023 (2ª fase) — questão 10 de Física

DiscursivaÓptica — imagem no espelho côncavo; Ondas — efeito Doppler e lei de Hubble2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 10 de Física do UNICAMP 2023 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

O espelho primário do Telescópio Espacial James Webb é côncavo e tem diâmetro de aproximadamente seis metros – cerca de três vezes o do espelho do Telescópio Espacial Hubble. Isso permite a observação de objetos celestes ainda mais distantes.

a) A figura, no espaço de respostas, apresenta um espelho esférico de raio de curvatura $R_C = 10$ m. Um objeto O está posicionado no eixo óptico a uma distância $p = 15$ m do vértice do espelho, e dois raios incidentes no espelho são assinalados como (1) e (2). Encontre a distância $p^{\prime}$ da imagem ao vértice do espelho. A imagem é real ou é virtual? É direita ou é invertida? É ampliada ou é reduzida?

b) Em 1929, o astrônomo Edwin Hubble observou que a velocidade $v$ de afastamento de uma galáxia é proporcional à sua distância $D$ até a Terra, estabelecendo a chamada lei de Hubble: $v = H_0 D$ , sendo $H_0 \simeq \dfrac{2 \times 10^{-2}\ \text{m/s}}{\text{ano-luz}}$ a constante de Hubble. Para a determinação da velocidade de afastamento, os astrônomos usaram o efeito Doppler, que produz um deslocamento da frequência da luz proveniente das galáxias, de forma que, para $v \ll c$ , tem-se: $\dfrac{f_{\text{obser}}}{f_{\text{emit}}} \simeq 1 - \dfrac{v}{c}$ , sendo $f_{\text{obser}}$ e $f_{\text{emit}}$ respectivamente as frequências observada e emitida, e $c = 3{,}0 \times 10^{8}$ m/s a velocidade da luz no vácuo. A que distância D fica uma galáxia para a qual certo comprimento de onda da luz observada é 25% maior que o da luz emitida, ou seja, $\dfrac{\lambda_{\text{obser}}}{\lambda_{\text{emit}}} \simeq 1{,}25$ ?

(Figura: à esquerda, o espelho côncavo, com o “vértice” marcado sobre o eixo óptico horizontal; fundo quadriculado, com escala horizontal de 1,0 m por quadradinho. O objeto O é uma seta vertical para cima, de um quadradinho de altura, apoiada no eixo a 15 m do vértice. Há dois pontos marcados no eixo, a 5 m e a 10 m do vértice. O raio (1) sai do topo de O paralelo ao eixo, em direção ao espelho. O raio (2) sai do topo de O, passa pelo ponto do eixo a 10 m do vértice e atinge o espelho dois quadradinhos abaixo do eixo.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2023, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a posição e as características da imagem formada pelo espelho côncavo; (b) a distância de uma galáxia a partir do desvio para o vermelho da sua luz.

Item (a) — a distância focal. Num espelho esférico, o foco fica no meio do caminho entre o vértice e o centro de curvatura:

$f = \frac{R_C}{2} = \frac{10}{2} = 5{,}0\ \text{m}$

Item (a) — equação de Gauss. Com $p = 15$ m:

$\frac{1}{p^{\prime}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{1}{5} - \frac{1}{15}$

$\frac{1}{p^{\prime}} = \frac{3 - 1}{15} = \frac{2}{15}$

$p^{\prime} = 7{,}5\ \text{m}$

Como $p^{\prime} > 0$ , a imagem fica na frente do espelho: é real.

Item (a) — o aumento linear:

$A = -\frac{p^{\prime}}{p} = -\frac{7{,}5}{15} = -0{,}5$

O sinal negativo indica imagem invertida, e $|A| = 0{,}5 < 1$ indica imagem reduzida (metade do tamanho do objeto).

Item (a) — o traçado na figura (a outra forma aceita pela banca). Os dois pontos marcados no eixo são o foco (5 m) e o centro de curvatura (10 m). O raio (1), paralelo ao eixo, reflete passando pelo foco. O raio (2) passa pelo centro de curvatura, chega ao espelho na direção do raio e volta sobre si mesmo. Os dois refletidos se cruzam a 7,5 m do vértice, meio quadradinho abaixo do eixo: é ali que fica o topo da imagem, real, invertida e com metade da altura do objeto.

Item (b) — de comprimento de onda para frequência. A luz viaja com a mesma velocidade $c = \lambda f$ , então frequência e comprimento de onda são inversamente proporcionais:

$\frac{f_{\text{obser}}}{f_{\text{emit}}} = \frac{\lambda_{\text{emit}}}{\lambda_{\text{obser}}}$

$\frac{f_{\text{obser}}}{f_{\text{emit}}} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$

Item (b) — a velocidade de afastamento, pela fórmula do efeito Doppler dada:

$1 - \frac{v}{c} = 0{,}8 \Rightarrow \frac{v}{c} = 0{,}2$

$v = 0{,}2 \times 3{,}0 \times 10^{8}$

$v = 6{,}0 \times 10^{7}\ \text{m/s}$

Item (b) — a distância, pela lei de Hubble:

$D = \frac{v}{H_0} = \frac{6{,}0 \times 10^{7}}{2 \times 10^{-2}}$

$D = 3{,}0 \times 10^{9}\ \text{anos-luz}$

⚠️ A armadilha: no item (b), pôr a razão 1,25 dos comprimentos de onda direto na fórmula das frequências: daria $1 - v/c = 1{,}25$ , ou seja, $v$ negativa (aproximação), o que contradiz o afastamento da galáxia. Comprimento de onda maior significa frequência menor. No item (a), esquecer que o foco é metade do raio e usar $f = 10$ m levaria a $p^{\prime} = 30$ m, uma imagem ampliada, errada.

A ideia em uma frase: objeto além do centro de curvatura de um espelho côncavo dá imagem real, invertida e reduzida; e luz “esticada” 25% significa frequência multiplicada por 0,8, ou seja, galáxia fugindo a 20% da velocidade da luz.

Resposta: (a) $p^{\prime} = 7{,}5$ m; imagem real, invertida e reduzida ( $A = -0{,}5$ ); (b) $v = 6{,}0 \times 10^{7}$ m/s e $D = 3{,}0 \times 10^{9}$ anos-luz.

Vídeo em breve

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