UNICAMP 2023 (2ª fase) — questão 12 de Física

DiscursivaCalorimetria — calor latente para congelar um lago; Termologia — condução de calor pelo gelo2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 12 de Física do UNICAMP 2023 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

A Antártida possui centenas de lagos subglaciais, ou seja, abaixo do solo e do gelo que recobre o continente. Recentemente, lá foi descoberto um aquífero de grandes dimensões. Considere um lago de área horizontal $A = 50\ \text{km}^2$ e dimensão vertical $y = 12$ m (ver figura), coberto por uma camada de gelo de espessura $d = 5{,}0$ m. A água líquida do lago encontra-se na temperatura do seu ponto de fusão, $\theta_{\text{água}} = 0$ °C, e o ar imediatamente acima do gelo está na temperatura $\theta_{\text{ar}} = -15{,}0$ °C. A densidade da água líquida é $\rho = 1{,}0\ \text{g/cm}^3$ e 1 cal ≃ 4 J.

(Figura: corte vertical. No alto, o ar, com $\theta_{\text{ar}} = -15$ °C; abaixo, a camada de gelo, de espessura $d = 5{,}0$ m; abaixo do gelo, o lago, com $\theta_{\text{água}} = 0$ °C e profundidade $y = 12$ m.)

a) Para congelar a água, é preciso retirar calor dela. O calor latente de fusão/solidificação da água é $L_F = 80$ cal/g. Qual é a quantidade de calor que deve ser retirada para congelar completamente o lago, mantendo-se a temperatura do lago a 0 °C?

b) A quantidade de calor Q conduzido da água do lago para o ar, num intervalo de tempo $\Delta t$ , através de uma área A, obedece à relação: $\dfrac{Q}{t\,A} = \dfrac{k}{d}\left(\theta_{\text{água}} - \theta_{\text{ar}}\right)$ , sendo $k = 2{,}2\ \text{W}/(\text{m}\cdot{}^{\circ}\text{C})$ a condutividade térmica do gelo. Calcule a potência conduzida através de toda a área A acima do lago.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2023, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o calor que é preciso retirar para congelar toda a água do lago; (b) a potência que atravessa a camada de gelo, da água para o ar.

Atenção: no próprio PDF oficial, a fórmula “ $\theta_{\text{ar}} = -15{,}0$ °C” saiu deslocada para o fim do parágrafo (depois de “1 cal ≃ 4 J.”), deixando um buraco depois de “está na temperatura”. A intenção é inequívoca (a figura traz o mesmo dado), e a transcrevemos no lugar certo.

Item (a) — a massa de água. Volume do lago = área × profundidade, com $50$ km² $= 50 \times 10^{6}$ m² e $\rho = 1{,}0$ g/cm³ $= 1{,}0 \times 10^{3}$ kg/m³:

$V = A\,y = 50 \times 10^{6} \times 12$

$V = 6{,}0 \times 10^{8}\ \text{m}^3$

$m = \rho V = 6{,}0 \times 10^{11}\ \text{kg}$

$m = 6{,}0 \times 10^{14}\ \text{g}$

Item (a) — o calor latente. A água já está a 0 °C; para virar gelo sem mudar de temperatura, cada grama precisa perder 80 cal:

$Q = m\,L_F = 6{,}0 \times 10^{14} \times 80$

$Q = 4{,}8 \times 10^{16}\ \text{cal}$

Com 1 cal ≃ 4 J:

$Q \approx 1{,}92 \times 10^{17}\ \text{J}$

Item (b) — potência é calor por tempo. A relação dada é a lei de Fourier da condução. Multiplicando os dois lados pela área, a potência $P = Q/\Delta t$ fica:

$P = \frac{k\,A\,(\theta_{\text{água}} - \theta_{\text{ar}})}{d}$

A diferença de temperatura é $0 - (-15) = 15$ °C:

$P = \frac{2{,}2 \times 50 \times 10^{6} \times 15}{5{,}0}$

$P = 3{,}3 \times 10^{8}\ \text{W}$

⚠️ A armadilha: converter mal as unidades. 1 km² é $10^{6}$ m² (e não $10^{3}$ m²): com $50 \times 10^{3}$ m², os dois itens sairiam mil vezes menores. E 1,0 g/cm³ é $1000$ kg/m³. No item (b), errar o sinal da diferença de temperatura ( $0 - 15$ ) também é comum: o que importa é a diferença, 15 °C.

A ideia em uma frase: congelar água a 0 °C custa $mL_F$ em calor retirado; e o fluxo pelo gelo cresce com a área e com a diferença de temperatura e cai com a espessura.

Resposta: (a) $Q = 4{,}8 \times 10^{16}$ cal $\approx 1{,}92 \times 10^{17}$ J; (b) $P = 3{,}3 \times 10^{8}$ W.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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