UNICAMP 2018 (2ª fase) — questão 10 de Física

DiscursivaTermologia — dilatação do álcool no termômetro e radiação térmica do corpo2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 10 de Física do UNICAMP 2018 (2ª fase)

Enunciado em texto

Termômetros clínicos convencionais, de uso doméstico, normalmente baseiam-se na expansão térmica de uma coluna de mercúrio ou de álcool, ao qual se adiciona um corante. Com a expansão, o líquido ocupa uma parte maior de uma coluna graduada, na qual se lê a temperatura.

a) O volume de álcool em um termômetro é V0=20V_0 = 20 mm³ a 25°C, e corresponde à figura (a). Quando colocado em contato com água aquecida, o termômetro apresenta a leitura mostrada na figura (b). A escala está em milímetros, a área da secção reta da coluna é A=5,0×10−2A = 5{,}0 \times 10^{-2} mm². O aumento do volume, ΔV, produzido pelo acréscimo de temperatura ΔT, é dado por ΔVV0=γ ΔT\dfrac{\Delta V}{V_0} = \gamma\,\Delta T. Se para o álcool γ=1,25×10−3 ∘C−1\gamma = 1{,}25 \times 10^{-3}\ ^\circ\text{C}^{-1}, qual é a temperatura T da água aquecida?

(Figura: duas colunas de termômetro lado a lado, com a mesma escala em milímetros (um traço por milímetro, traços maiores a cada 5 mm). Em (a), marcada “25 °C”, a coluna escura termina num traço maior. Em (b), marcada “T = ?”, a coluna termina 13 traços (13 mm) acima do topo da coluna de (a).)

b) Os termômetros de infravermelho realizam a medida da temperatura em poucos segundos, facilitando seu uso em crianças. Seu funcionamento baseia-se na coleta da radiação infravermelha emitida por parte do corpo do paciente. A potência líquida radiada por unidade de área do corpo humano é dada por Φ=4σT03ΔT\Phi = 4\sigma T_0^3 \Delta T, sendo σ∼6×10−8\sigma \sim 6 \times 10^{-8} W/m²K⁴ a constante de Stefan-Boltzmann, T0=300T_0 = 300 K a temperatura ambiente e ΔT=Tcorpo−T0\Delta T = T_{\text{corpo}} - T_0 a diferença entre a temperatura do corpo, que deve ser medida, e a temperatura ambiente. Sabendo que em certa medida de temperatura Φ=64,8\Phi = 64{,}8 W/m², encontre a temperatura do paciente em °C. Lembre-se que θ (∘C)∼T (K)−273\theta\,(^\circ\text{C}) \sim T\,(\text{K}) - 273.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2018, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a temperatura da água, a partir de quanto a coluna de álcool subiu; (b) a temperatura do paciente, a partir da potência irradiada.

Item (a) — quanto a coluna subiu. Comparando as figuras, a coluna em (b) termina 13 divisões acima da de (a). Como a escala está em milímetros, Δh=13\Delta h = 13 mm. O volume a mais de álcool é o de um cilindrinho de área AA e altura Δh\Delta h:

ΔV=A Δh=5,0×10−2×13\Delta V = A\,\Delta h = 5{,}0 \times 10^{-2} \times 13

ΔV=0,65 mm3\Delta V = 0{,}65\ \text{mm}^3

Item (a) — a variação de temperatura, pela lei de dilatação dada:

ΔT=ΔVγV0\Delta T = \frac{\Delta V}{\gamma V_0}

ΔT=0,651,25×10−3×20\Delta T = \frac{0{,}65}{1{,}25 \times 10^{-3} \times 20}

ΔT=0,650,025=26 ∘C\Delta T = \frac{0{,}65}{0{,}025} = 26\ ^\circ\text{C}

T=25+26=51 ∘CT = 25 + 26 = 51\ ^\circ\text{C}

Item (b) — isolando ΔT. Primeiro, T03=3003=2,7×107T_0^3 = 300^3 = 2{,}7 \times 10^{7} K³:

ΔT=Φ4σT03\Delta T = \frac{\Phi}{4\sigma T_0^3}

ΔT=64,84×6×10−8×2,7×107\Delta T = \frac{64{,}8}{4 \times 6 \times 10^{-8} \times 2{,}7 \times 10^{7}}

ΔT=64,86,48=10 K\Delta T = \frac{64{,}8}{6{,}48} = 10\ \text{K}

Tcorpo=300+10=310 KT_{\text{corpo}} = 300 + 10 = 310\ \text{K}

θ=310−273=37 ∘C\theta = 310 - 273 = 37\ ^\circ\text{C}

⚠️ A armadilha: no item (a), dar como resposta só o ΔT (26 °C) e esquecer de somar a temperatura inicial de 25 °C; ou usar a altura total da coluna em (b) em vez do acréscimo de altura. No item (b), esquecer de converter para °C e responder 310.

A ideia em uma frase: no termômetro, o volume extra é área vezes subida da coluna; ΔV = γV₀ΔT dá o aquecimento, que se soma à temperatura inicial.

Resposta: (a) Δh=13\Delta h = 13 mm, ΔT=26\Delta T = 26 °C e T=51T = 51 °C; (b) Tcorpo=310T_{\text{corpo}} = 310 K, ou seja, 37 °C.

Vídeo em breve

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