UNICAMP 2017 (2ª fase) — questão 17 de Física

DiscursivaFísica moderna — comprimento de onda de De Broglie e efeito termiônico2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 17 de Física do UNICAMP 2017 (2ª fase)

Enunciado em texto

Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.

a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por λ=h/(2meEc)1/2\lambda = h/(2m_eE_c)^{1/2}, em que EcE_c é a energia cinética do elétron, me∼9×10−31m_e \sim 9 \times 10^{-31} kg é a massa do elétron e h∼6,6×10−34h \sim 6{,}6 \times 10^{-34} N·m·s é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de U=50U = 50 kV? Caso necessário, use a carga do elétron e=1,6×10−19e = 1{,}6 \times 10^{-19} C.

b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por J=AT2e(−Φ/(kBT))J = AT^2 e^{(-\Phi/(k_BT))}, em que AA é a constante de Richardson, TT é a temperatura em kelvin, kB=1,4×10−23k_B = 1{,}4 \times 10^{-23} J/K é a constante de Boltzmann e Φ\Phi, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para JJ pode ser reescrita como ln⁡(J/T2)=ln⁡(A)−(Φ/kB)(1/T)\ln(J/T^2) = \ln(A) - (\Phi/k_B)(1/T), que é uma equação de uma reta de ln⁡(J/T2)\ln(J/T^2) versus (1/T)(1/T), em que ln⁡(A)\ln(A) é o coeficiente linear e (Φ/kB)(\Phi/k_B) é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?

(Gráfico: eixo vertical ln(J/T²), de −45 a 0; eixo horizontal 1/T [× 10⁻³ K⁻¹], de 0,2 a 1,0. Os dados formam uma reta decrescente que vale 0 em 1/T = 0,25 e −40 em 1/T = 1,0; no caminho, passa por cerca de −13 em 0,5 e de −29 em 0,8.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2017, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o comprimento de onda de um elétron acelerado por 50 kV; (b) a função trabalho do tungstênio, tirada da inclinação da reta.

Atenção: no PDF oficial, as fórmulas deste enunciado saíram com símbolos quebrados (por exemplo, “λ = h (2meEc) 1/2 /” e “ln(J T 2 /)”). Elas foram escritas acima na forma correta, que é a usada na resposta esperada: λ=h/2meEc\lambda = h/\sqrt{2m_eE_c} e ln⁡(J/T2)=ln⁡A−(Φ/kB)(1/T)\ln(J/T^2) = \ln A - (\Phi/k_B)(1/T).

Item (a) — a energia cinética. Partindo do repouso, o elétron ganha energia cinética igual ao trabalho do campo elétrico, Ec=eUE_c = eU:

Ec=1,6×10−19×5,0×104E_c = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^{4}

Ec=8×10−15 JE_c = 8 \times 10^{-15}\ \text{J}

Item (a) — o comprimento de onda:

2meEc=2×9×10−31×8×10−152m_eE_c = 2 \times 9 \times 10^{-31} \times 8 \times 10^{-15}

2meEc=1,44×10−44 (kg m/s)22m_eE_c = 1{,}44 \times 10^{-44}\ (\text{kg m/s})^2

λ=6,6×10−341,2×10−22\lambda = \frac{6{,}6 \times 10^{-34}}{1{,}2 \times 10^{-22}}

λ=5,5×10−12 m\lambda = 5{,}5 \times 10^{-12}\ \text{m}

É cerca de cem mil vezes menor que o comprimento de onda da luz visível (uns 5×10−75 \times 10^{-7} m): daí a resolução muito melhor do microscópio eletrônico.

Item (b) — o que a inclinação significa. Na reta ln⁡(J/T2)=ln⁡A−(Φ/kB)(1/T)\ln(J/T^2) = \ln A - (\Phi/k_B)(1/T), o número que multiplica 1/T1/T é −Φ/kB-\Phi/k_B. Então o módulo da inclinação do gráfico é Φ/kB\Phi/k_B.

Item (b) — a inclinação lida no gráfico. A reta vai de 0 (em 1/T=0,25×10−31/T = 0{,}25 \times 10^{-3} K⁻¹) a −40 (em 1/T=1,0×10−31/T = 1{,}0 \times 10^{-3} K⁻¹):

ΦkB=400,75×10−3≈5,3×104 K\frac{\Phi}{k_B} = \frac{40}{0{,}75 \times 10^{-3}} \approx 5{,}3 \times 10^{4}\ \text{K}

Φ=1,4×10−23×5,3×104\Phi = 1{,}4 \times 10^{-23} \times 5{,}3 \times 10^{4}

Φ≈7,5×10−19 J\Phi \approx 7{,}5 \times 10^{-19}\ \text{J}

Isso dá cerca de 4,7 eV, perto do valor tabelado da função trabalho do tungstênio (cerca de 4,5 eV).

Atenção: a resposta esperada da banca usa inclinação 50×10350 \times 10^{3} K e obtém Φ=7×10−19\Phi = 7 \times 10^{-19} J. A leitura da reta desenhada dá um pouco mais (cerca de 5,3×1045{,}3 \times 10^4 K); a diferença, de uns 7%, está dentro da precisão de leitura do gráfico, e as duas respostas são da ordem de 7×10−197 \times 10^{-19} J.

⚠️ A armadilha: no item (a), esquecer a raiz quadrada (ou o fator 2) na fórmula; no item (b), esquecer que o eixo horizontal está em 10−310^{-3} K⁻¹: lendo a inclinação como 40/0,75 ≈ 53 K, a função trabalho sairia mil vezes menor.

A ideia em uma frase: elétron acelerado: Ec = eU e λ = h/√(2mEc); num gráfico linearizado, a grandeza física está escondida na inclinação.

Resposta: (a) λ=5,5×10−12\lambda = 5{,}5 \times 10^{-12} m; (b) Φ=kB×\Phi = k_B \times (inclinação) ≈7,5×10−19\approx 7{,}5 \times 10^{-19} J, cerca de 4,7 eV (a banca, com inclinação 5×1045 \times 10^4 K, dá 7×10−197 \times 10^{-19} J).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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