UNICAMP 2017 (2ª fase) — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a rapidez do satélite GPS na órbita; (b) o raio e o período da órbita em que o adiantamento da relatividade geral e o atraso da relatividade restrita se anulam.

Item (a) — uma volta por período. Na órbita circular, o satélite percorre a circunferência inteira, $2\pi R$, em um período $T$. Como o movimento é uniforme, a velocidade escalar média é a própria rapidez do satélite:

$$v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \times 27\,000}{12}$$

$$v = 4\,500\,\pi \approx 1{,}4 \times 10^{4}\ \text{km/h}$$

Isso dá cerca de 3,9 km/s. Com a aproximação $\pi = 3$, usada pela banca, sai $v = 13\,500$ km/h.

Item (b) — lendo o gráfico. A soma dos efeitos é zero quando as duas curvas têm o mesmo módulo e sinais opostos (não quando se cruzam: elas nunca se cruzam). Em 9 × 10³ km, a relatividade geral vale cerca de +2,5 × 10⁻¹⁰ s e a restrita, cerca de −2,5 × 10⁻¹⁰ s. Então:

$$R = 9 \times 10^{3}\ \text{km} = 9 \times 10^{6}\ \text{m}$$

Item (b) — o período pela terceira lei de Kepler. Para órbitas em torno do mesmo astro (a Terra), $T^2/R^3$ é o mesmo. Comparando com a órbita do GPS:

$$\frac{T^2}{R^3} = \frac{T_{\text{GPS}}^2}{R_{\text{GPS}}^3}$$

$$T = 12 \times \left(\frac{9}{27}\right)^{3/2} = \frac{12}{3\sqrt{3}}$$

$$T \approx 2{,}3\ \text{h}$$

Atenção: a resposta esperada da banca escreve $T = 12/(3\sqrt{3}) \approx 2{,}2$ h. A expressão é a mesma; o valor numérico dela é 2,31 h, então 2,3 h é o arredondamento correto. A diferença é só de conta.

⚠️ A armadilha: no item (b), achar que o período é proporcional ao raio (um terço do raio daria um terço do período, 4 h). Pela lei de Kepler, $T \propto R^{3/2}$: um terço do raio dá $1/(3\sqrt{3})$ do período, cerca de 2,3 h. Outra: procurar o ponto em que as curvas se cruzam, que não existe.

A ideia em uma frase: velocidade na órbita é circunferência sobre período; para comparar órbitas em volta da Terra, use T² ∝ R³.

Resposta: (a) $v = 2\pi R/T \approx 1{,}4 \times 10^4$ km/h (13 500 km/h com π = 3); (b) $R \approx 9 \times 10^3$ km $= 9 \times 10^6$ m e $T = 12/(3\sqrt{3}) \approx 2{,}3$ h.