UNICAMP 2017 (2ª fase) — questão 14 de Física

DiscursivaDinâmica — coeficiente de restituição e conservação da quantidade de movimento2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 14 de Física do UNICAMP 2017 (2ª fase)

Enunciado em texto

Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.

a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura hi=50h_i = 50 cm acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de hf=2h_f = 2 cm após quicar a primeira vez na folha?

b) Considere uma gota de água com velocidade inicial vi=3v_i = 3 mm/s deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de 2 cm². Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de 2,5×10−32{,}5 \times 10^{-3} gramas/cm². Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2017, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o coeficiente de restituição do quique da gota; (b) uma estimativa da massa da gota e a velocidade dela depois de juntar o lodo.

Item (a) — velocidades a partir das alturas. Na queda livre (e na subida), sem perdas, v2=2ghv^2 = 2gh. Logo a velocidade com que a gota chega é 2ghi\sqrt{2gh_i} e a velocidade com que sai é 2ghf\sqrt{2gh_f}. O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade de afastamento e a de aproximação (a folha está parada):

e=vfvi=hfhi=250e = \frac{v_f}{v_i} = \sqrt{\frac{h_f}{h_i}} = \sqrt{\frac{2}{50}}

e=0,04=0,2e = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2

Item (b) — estimando a massa da gota. Uma gota de chuva típica tem uns 4 mm de diâmetro (raio r≈0,2r \approx 0{,}2 cm). Com densidade da água 1 g/cm³:

mg=ρ 43πr3≈43×3×0,23m_g = \rho\,\frac{4}{3}\pi r^3 \approx \frac{4}{3}\times 3 \times 0{,}2^3

mg≈0,03 gm_g \approx 0{,}03\ \text{g}

Item (b) — a massa de lodo capturada:

mℓ=2×2,5×10−3=5×10−3 gm_\ell = 2 \times 2{,}5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-3}\ \text{g}

Item (b) — conservação da quantidade de movimento. A folha é horizontal e o atrito é praticamente nulo: na direção do movimento não há força externa sobre o sistema gota + lodo. A gota “recolhe” o lodo parado, como numa colisão perfeitamente inelástica, e a quantidade de movimento se conserva:

mgvi=(mg+mℓ) vfm_g v_i = (m_g + m_\ell)\,v_f

vf=0,03×30,03+0,005v_f = \frac{0{,}03 \times 3}{0{,}03 + 0{,}005}

vf≈2,6 mm/sv_f \approx 2{,}6\ \text{mm/s}

A banca usou a mesma estimativa, mg=0,03m_g = 0{,}03 g, e chegou a 2,57 mm/s. Como a massa da gota é uma estimativa, o número final muda um pouco com ela; o que conta é o método.

⚠️ A armadilha: no item (b), achar que a gota mantém os 3 mm/s porque “não há atrito”. Sem atrito a quantidade de movimento se conserva, não a velocidade: a massa aumenta, então a velocidade diminui. Também não vale conservar a energia cinética: incorporar o lodo é um choque inelástico.

A ideia em uma frase: coeficiente de restituição é a raiz da razão das alturas; ganhar massa sem força externa conserva mv e reduz a velocidade.

Resposta: (a) e=0,2e = 0{,}2; (b) massa da gota estimada em cerca de 0,03 g e vf≈2,6v_f \approx 2{,}6 mm/s (2,57 mm/s na conta da banca).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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