UNICAMP 2017 (2ª fase) — questão 15 de Física

DiscursivaDinâmica — resultante centrípeta na montanha-russa e no chapéu mexicano2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 15 de Física do UNICAMP 2017 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Os brinquedos de parques de diversões utilizam-se de princípios da Mecânica para criar movimentos aos quais não estamos habituados, gerando novas sensações. Por isso um parque de diversões é um ótimo local para ilustrar princípios básicos da Mecânica.

a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por uma rampa de altura H = 5 m e, ao final da rampa, passa por um trecho circular de raio R = 2 m, conforme mostra a figura a) abaixo. Calcule o módulo da aceleração no ponto mais baixo do circuito, considerando que o carrinho partiu do repouso.

(Figura a): o carrinho está no alto de uma rampa inclinada, à direita, de altura H = 5 m medida a partir do nível do chão. A rampa desce até o fundo de um trecho circular (circunferência pontilhada de raio R = 2 m, com o ponto mais baixo encostado no nível do chão) e o trilho sobe de novo à esquerda.)

b) Outro brinquedo comum em parques de diversões é o chapéu mexicano, em que cadeiras são penduradas com correntes na borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotação perpendicular ao solo. Considere um chapéu mexicano com estrutura circular de raio R = 6,3 m e correntes de comprimento L = 2 m. Ao girar, as cadeiras se elevam 40 cm, afastando-se 1,2 m do eixo de rotação, conforme mostra a figura b) abaixo. Calcule a velocidade angular de rotação do brinquedo.

(Figura b): disco horizontal de raio R = 6,3 m girando em torno do eixo vertical central. Na borda do disco está presa uma corrente de comprimento L = 2 m, inclinada para fora, com a cadeira na ponta. A cadeira está 0,4 m acima da posição em que ficaria com a corrente na vertical e 1,2 m mais para fora, na horizontal, que o ponto de fixação na borda.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2017, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a aceleração do carrinho no ponto mais baixo do trecho circular; (b) a velocidade angular do chapéu mexicano.

Item (a) — a velocidade no fundo. Sem atrito, a energia mecânica se conserva. O carrinho parte do repouso a 5 m de altura e o ponto mais baixo do círculo está no nível do chão (com $g = 10$ m/s²):

$\frac{mv^2}{2} = mgH \Rightarrow v^2 = 2gH$

$v^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100\ \text{m}^2/\text{s}^2$

Item (a) — a aceleração. No ponto mais baixo o trilho é horizontal: nem o peso nem a normal têm componente na direção do movimento, então a aceleração tangencial é zero. Sobra só a aceleração centrípeta, apontando para o centro (para cima):

$a = \frac{v^2}{R} = \frac{100}{2} = 50\ \text{m/s}^2$

Item (b) — a geometria da corrente. A cadeira subiu 0,4 m, então a corrente tem componente vertical $2 - 0{,}4 = 1{,}6$ m e componente horizontal 1,2 m (confere: $1{,}6^2 + 1{,}2^2 = 4 = 2^2$ ). Chamando de θ o ângulo da corrente com a vertical:

$\operatorname{tg}\theta = \frac{1{,}2}{1{,}6} = 0{,}75$

O raio da circunferência que a cadeira descreve é o raio da estrutura mais o afastamento horizontal:

$r = 6{,}3 + 1{,}2 = 7{,}5\ \text{m}$

Item (b) — as forças. Na cadeira agem o peso e a tração da corrente. A componente vertical da tração equilibra o peso; a horizontal é a resultante centrípeta:

$T\cos\theta = mg \quad\text{e}\quad T\,\text{sen}\,\theta = m\omega^2 r$

Dividindo uma pela outra:

$\operatorname{tg}\theta = \frac{\omega^2 r}{g} \Rightarrow \omega^2 = \frac{10 \times 0{,}75}{7{,}5}$

$\omega^2 = 1 \Rightarrow \omega = 1\ \text{rad/s}$

⚠️ A armadilha: no item (b), usar como raio só os 6,3 m da estrutura (dá $\omega \approx 1{,}09$ rad/s) ou só o 1,2 m (dá $\omega = 2{,}5$ rad/s). A cadeira gira em torno do eixo central, a 6,3 + 1,2 = 7,5 m dele. No item (a), o erro comum é somar uma aceleração tangencial que, no fundo do trilho, não existe.

A ideia em uma frase: no fundo do looping só há aceleração centrípeta v²/R; no chapéu mexicano, tg θ = ω²r/g, com r medido até o eixo.

Resposta: (a) $a = 50$ m/s² (centrípeta, para cima); (b) $\omega = 1$ rad/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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