UNICAMP 2016 (2ª fase) — questão 8 de Física

DiscursivaGravitação — razão entre forças gravitacionais e velocidade orbital em torno de Plutão2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 8 de Física do UNICAMP 2016 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Plutão é considerado um planeta anão, com massa $M_p = 1 \times 10^{22}\ \text{kg}$ , bem menor que a massa da Terra. O módulo da força gravitacional entre duas massas $m_1$ e $m_2$ é dado por $F_g = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ , em que $r$ é a distância entre as massas e $G$ é a constante gravitacional. Em situações que envolvem distâncias astronômicas, a unidade de comprimento comumente utilizada é a Unidade Astronômica (UA).

a) Considere que, durante a sua aproximação a Plutão, a sonda se encontra em uma posição que está $d_p = 0{,}15\ \text{UA}$ distante do centro de Plutão e $d_T = 30\ \text{UA}$ distante do centro da Terra. Calcule a razão $\left(\dfrac{F_{gT}}{F_{gP}}\right)$ entre o módulo da força gravitacional com que a Terra atrai a sonda e o módulo da força gravitacional com que Plutão atrai a sonda. Caso necessário, use a massa da Terra $M_T = 6 \times 10^{24}\ \text{kg}$ .

b) Suponha que a sonda New Horizons estabeleça uma órbita circular com velocidade escalar orbital constante em torno de Plutão com um raio de $rp = 1 \times 10^{-4}\ \text{UA}$ . Obtenha o módulo da velocidade orbital nesse caso. Se necessário, use a constante gravitacional $G = 6 \times 10^{-11}\ \text{N.m}^2/\text{kg}^2$ . Caso necessário, use 1 UA (Unidade astronômica) $= 1{,}5 \times 10^8\ \text{km}$ .

(Enunciado: Vestibular Unicamp 2016, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quantas vezes a atração da Terra sobre a sonda é maior (ou menor) que a de Plutão; (b) a velocidade da sonda numa órbita circular em torno de Plutão.

Item (a) — montar a razão: $G$ e a massa da sonda aparecem em cima e embaixo e se cancelam:

$\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = \frac{M_T}{M_P} \cdot \left(\frac{d_P}{d_T}\right)^2$

$\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = \frac{6 \times 10^{24}}{10^{22}} \cdot \left(\frac{0{,}15}{30}\right)^2$

$\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = 600 \times (5 \times 10^{-3})^2$

$\frac{F_{gT}}{F_{gP}} = 600 \times 2{,}5 \times 10^{-5}$

$= 1{,}5 \times 10^{-2}$

Ou seja, ali Plutão puxa a sonda cerca de 67 vezes mais forte que a Terra. As distâncias podem ficar em UA, porque só a razão entre elas importa.

Item (b) — Passo 1, o raio em metros:

$r_P = 10^{-4} \times 1{,}5 \times 10^{11}\ \text{m}$

$r_P = 1{,}5 \times 10^7\ \text{m}$

Passo 2 — a gravidade faz o papel de força centrípeta:

$\frac{G M_P m}{r_P^2} = \frac{m v^2}{r_P} \Rightarrow v^2 = \frac{G M_P}{r_P}$

$v^2 = \frac{6 \times 10^{-11} \times 10^{22}}{1{,}5 \times 10^7}$

$v^2 = \frac{6 \times 10^{11}}{1{,}5 \times 10^7} = 4 \times 10^4$

$v = 2 \times 10^2\ \text{m/s}$

⚠️ A armadilha: no item (a), inverter a razão (responder ≈ 67) ou esquecer de elevar a razão das distâncias ao quadrado (dá 3, errado). No item (b), converter a UA só para km: $1{,}5 \times 10^4$ km no lugar de $1{,}5 \times 10^7$ m mistura unidades e leva a $v \approx 6{,}3 \times 10^3$ , um número sem sentido.

A ideia em uma frase: na razão entre forças gravitacionais, G se cancela; e em órbita circular, v² = GM/r.

Resposta: (a) $F_{gT}/F_{gP} = 1{,}5 \times 10^{-2}$ ; (b) $v = 2 \times 10^2$ m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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