UNEMAT 2007 (2º semestre) — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: analisar encontros, voltas de vantagem e aceleração centrípeta a partir das funções horárias angulares.

Passo 1 — lendo as funções. Na forma $\varphi = \varphi_0 + \omega t$: X parte de $\varphi_0 = \pi$ (meia volta à frente) com $\omega_X = \pi$ rad/s; Y parte de 0 com $\omega_Y = 2\pi$ rad/s. Y é mais rápido, então é Y quem vai alcançar X (o que já descarta (D) e (E): X nunca ganha vantagem sobre Y depois do início).

Passo 2 — quando Y alcança X. Os ângulos ficam iguais:

$$2\pi t = \pi + \pi t \;\Rightarrow\; t = 1\ \text{s}$$

Então (A), que diz 2 s, está errada.

Passo 3 — quando Y fica uma volta à frente. A diferença de ângulo tem de valer 2π:

$$2\pi t - (\pi + \pi t) = 2\pi$$

$$\pi t = 3\pi \;\Rightarrow\; t = 3\ \text{s}$$

É exatamente o que diz (B).

Passo 4 — conferindo (C). A aceleração centrípeta de X:

$$a_c = \omega_X^2 R = \pi^2 \times 10 = 10\pi^2\ \text{m/s}^2$$

É 10π², cerca de 99 m/s², e não 10π.

Conferindo (B) por outro caminho: a velocidade angular relativa de Y em relação a X é 2π − π = π rad/s. Y precisa tirar a desvantagem de meia volta (π) e depois abrir uma volta inteira (2π): 3π rad, que a π rad/s levam 3 s.

⚠️ A armadilha: esquecer a fase inicial π de X e achar que Y abre uma volta de vantagem em 2 s (2π / π), ou que eles se encontram em 2 s (alternativa A).

A ideia em uma frase: encontro é ângulo igual; uma volta à frente é diferença de 2π — monte a equação com as funções horárias e resolva.

Resposta: alternativa B (Y fica uma volta à frente de X em t = 3 s).