UFU 2012-2 — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a menor inclinação da rampa que dá ao objeto energia suficiente para passar pelo topo B do looping sem descolar da pista.

Passo 0 — hipóteses. Como em toda questão desse tipo, despreza-se o atrito e o objeto é tratado como uma partícula (sem rolamento). Usaremos $g$ sem precisar do valor, porque ele se cancela.

Passo 1 — a condição no topo do looping. Em B, o objeto está de cabeça para baixo e a resultante centrípeta é a soma do peso com a força normal da pista. No limite de “quase cair”, a normal vale zero e só o peso faz o papel de centrípeta:

$$m g = \frac{m v_B^2}{R} \Rightarrow v_B^2 = g R$$

Passo 2 — conservação da energia de A até B. O objeto parte do repouso (é “solto”) à altura $h$ e chega a B, que está a $2R$ de altura:

$$m g h = m g (2R) + \frac{m v_B^2}{2}$$

$$g h = 2 g R + \frac{g R}{2}$$

$$h_{\text{mín}} = \frac{5R}{2}$$

Passo 3 — da altura ao ângulo. Na rampa, a altura é o cateto oposto ao ângulo x e o comprimento de 5 m é a hipotenusa:

$$\operatorname{sen} x = \frac{h}{5} = \frac{5R/2}{5} = \frac{R}{2}$$

$$x_{\text{mín}} = \text{arc sen}\,(R/2)$$

(Com R em metros, como os 5 m da rampa.) Qualquer ângulo menor daria altura menor que 5R/2, e o objeto descolaria antes de chegar ao topo.

⚠️ A armadilha: pensar que basta o objeto “chegar” ao topo, com velocidade zero, e usar $h = 2R$. Isso daria $\operatorname{sen} x = 2R/5$, que nem está nas alternativas. Com velocidade zero lá em cima ele cai antes: no topo é preciso ter pelo menos $v^2 = gR$.

A ideia em uma frase: para completar o looping, a altura de partida tem que ser pelo menos 5R/2; na rampa de 5 m, isso dá sen x = R/2.

Resposta: alternativa A (arc sen (R/2)).