UFRGS 2014 — questão 25 de Física

Gabarito CFísica moderna — relatividade restrita: dilatação do tempo (múons cósmicos)Concurso Vestibular · Física
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 25 de Física do UFRGS 2014

Enunciado em texto

Instrução: Sempre que for necessário utilizar valores dos módulos da aceleração da gravidade na superfície da Terra ou da velocidade da luz no vácuo, considere esses valores como 9,80 m/s29{,}80\ \text{m/s}^2 e 3,00×108 m/s3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m/s}, respectivamente.

Os múons cósmicos são partículas de altas energias, criadas na alta atmosfera terrestre. A velocidade de alguns desses múons (v) é próxima da velocidade da luz (c), tal que v2=0,998c2v^2 = 0{,}998c^2, e seu tempo de vida em um referencial em repouso é aproximadamente t0=2×10−6t_0 = 2 \times 10^{-6} s. Pelas leis da mecânica clássica, com esse tempo de vida tão curto, nenhum múon poderia chegar ao solo, no entanto eles são detectados na Terra. Pelos postulados da relatividade restrita, o tempo de vida do múon em um referencial terrestre (t) e o tempo t0t_0 são relacionados pelo fator relativístico

γ=11−v2c2.\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.

Para um observador terrestre a distância que o múon pode percorrer antes de se desintegrar é, aproximadamente,

(A) 6,0×1026{,}0 \times 10^{2} m.

(B) 6,0×1036{,}0 \times 10^{3} m.

(C) 13,5×10313{,}5 \times 10^{3} m.

(D) 17,5×10317{,}5 \times 10^{3} m.

(E) 27,0×10327{,}0 \times 10^{3} m.

(Enunciado: Concurso Vestibular UFRGS 2014, Física — UFRGS.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), Comissão Permanente de Seleção (COPERSE).

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto o múon anda, visto da Terra, antes de se desintegrar.

Passo 1 — o fator γ. Com v2/c2=0,998v^2/c^2 = 0{,}998:

γ=11−0,998=10,002\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}998}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}002}}

γ≈10,0447≈22,4\gamma \approx \frac{1}{0{,}0447} \approx 22{,}4

Passo 2 — o tempo de vida visto da Terra. Para nós, o “relógio” do múon anda mais devagar: o tempo de vida fica γ vezes maior (dilatação do tempo):

t=γ t0≈22,4×2×10−6t = \gamma\,t_0 \approx 22{,}4 \times 2 \times 10^{-6}

t≈4,47×10−5 st \approx 4{,}47 \times 10^{-5}\ \text{s}

Passo 3 — a distância. A velocidade é praticamente a da luz (v=0,998 c≈0,999 cv = \sqrt{0{,}998}\,c \approx 0{,}999\,c):

d=v t≈3,00×108×4,47×10−5d = v\,t \approx 3{,}00 \times 10^{8} \times 4{,}47 \times 10^{-5}

d≈1,34×104 md \approx 1{,}34 \times 10^{4}\ \text{m}

São cerca de 13,4 km. A alternativa mais próxima é 13,5×10313{,}5 \times 10^{3} m.

Conferindo: sem a relatividade, o múon andaria só v t0≈3×108×2×10−6=600v\,t_0 \approx 3 \times 10^{8} \times 2 \times 10^{-6} = 600 m, e não chegaria ao solo vindo da alta atmosfera. Com a dilatação do tempo, ele anda uns 13 km: dá para chegar.

⚠️ A armadilha: usar o tempo próprio t0t_0 em vez do tempo medido na Terra: dá 600 m, a alternativa A. Esse é justamente o resultado “clássico” que o enunciado diz que não bate com a observação.

A ideia em uma frase: para quem está na Terra, o tempo de vida do múon rápido fica γ vezes maior, e é por isso que ele chega ao solo.

Resposta: alternativa C (13,5×10313{,}5 \times 10^{3} m).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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