UFPR 2017 — questão 49 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: de que profundidade a bolha partiu, sabendo que, ao chegar à superfície, seu volume aumentou 50%.

Passo 1 — a bolha cresce. Subindo, a pressão da água em volta diminui, e o ar se expande. Uma variação de 50% significa que o volume final é 1,5 vez o inicial: $V_f = 1{,}5\,V_0$.

Passo 2 — lei de Boyle. Com temperatura constante, $p\,V$ é constante para a mesma quantidade de ar. Na superfície, a pressão é a atmosférica:

$$p_0 V_0 = p_{\text{atm}}\cdot 1{,}5\,V_0$$

$$p_0 = 1{,}5\cdot 10^5\ \text{Pa}$$

Passo 3 — lei de Stevin. No fundo, a pressão é a atmosférica mais a da coluna de água, $\rho g h$. Com $\rho = 1\ \text{g/cm}^3 = 10^3\ \text{kg/m}^3$:

$$\rho g h = 1{,}5\cdot 10^5 - 10^5 = 0{,}5\cdot 10^5$$

$$h = \frac{0{,}5\cdot 10^5}{10^3\cdot 10} = 5\ \text{m}$$

Conferindo: cada 10 m de água acrescentam cerca de 1 atm. A 5 m, a pressão é 1,5 atm; subindo até 1 atm, o volume fica 1,5 vez maior. Confere.

⚠️ A armadilha: usar a pressão total no fundo, $1{,}5\cdot 10^5$ Pa, como se fosse toda da água, o que daria 15 m. A pressão atmosférica age em cima do lago e também está somada no fundo; só o excesso, $0{,}5\cdot 10^5$ Pa, vem da coluna de água.

A ideia em uma frase: volume 1,5 vez maior na superfície significa pressão 1,5 vez maior no ponto de partida (Boyle): o excesso de 0,5 atm corresponde a 5 m de água.

Resposta: alternativa C (5 m).