UERJ 2016 (1º Exame de Qualificação) — questão 34 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a “velocidade” de crescimento das bactérias no instante t = 1 h, sabendo que o número delas cresce como o deslocamento num MUV que parte do repouso.

Passo 1 — montar a analogia. No MUV com velocidade inicial nula, o deslocamento é $s = \frac{a t^2}{2}$ e a velocidade é $v = a t$. Trocando “deslocamento” por “número de bactérias” e “velocidade” por “taxa de crescimento”:

$$N = \frac{a\,t^2}{2} \qquad \text{taxa} = a\,t$$

Aqui a “aceleração” a é medida em bactérias por hora ao quadrado.

Passo 2 — achar a “aceleração” com o dado de 4 horas:

$$8 \times 10^5 = \frac{a \times 4^2}{2} = 8\,a$$

$$a = 1{,}0 \times 10^5\ \text{bactérias/h}^2$$

Passo 3 — a taxa em t = 1 h:

$$\text{taxa} = a\,t = 1{,}0 \times 10^5 \times 1$$

$$\text{taxa} = 1{,}0 \times 10^5\ \text{bactérias/h}$$

Conferindo: em t = 1 h já existem $N = 10^5 \times 1^2/2 = 5 \times 10^4$ bactérias. No MUV que parte do repouso, a velocidade no instante t é o dobro da velocidade média até ali: $2 \times 5 \times 10^4 = 10^5$ por hora. Bate.

⚠️ As armadilhas: dividir o total pelo tempo, $8 \times 10^5 / 4 = 2{,}0 \times 10^5$, dá a taxa média das quatro horas, a alternativa B. E calcular a taxa no fim das quatro horas, $a \times 4 = 4{,}0 \times 10^5$, dá a alternativa C. A pergunta é sobre o instante t = 1 h.

A ideia em uma frase: se N cresce como o deslocamento de um MUV a partir do repouso, N = at²/2 e a taxa é at — ache a com um ponto conhecido e calcule no instante pedido.

Resposta: alternativa A ($1{,}0 \times 10^5$ bactérias por hora).