UEL 2023 — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar cinco frases sobre a trajetória de um projétil lançado a 30 m/s, a 30° da horizontal, de 2 m de altura.

Passo 1 — decompor a velocidade inicial:

$$v_x = 30\cos 30^{\circ} = 15\sqrt{3}\ \text{m/s}$$

$$v_y = 30\,\text{sen}\,30^{\circ} = 15\ \text{m/s}$$

Passo 2 — a equação da trajetória. Na horizontal o movimento é uniforme; na vertical, a aceleração é −g. Partindo de y = 2 m:

$$x = 15\sqrt{3}\,t \;\Rightarrow\; t = \frac{x}{15\sqrt{3}}$$

$$y = 2 + 15t - 5t^2$$

Substituindo t:

$$15t = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,x$$

$$5t^2 = \frac{5x^2}{675} = \frac{x^2}{135}$$

$$y = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{1}{135}x^2$$

É exatamente a função da 4ª afirmativa: V.

Passo 3 — o ponto (45; 12,5). Com $\sqrt{3} = 1{,}7$:

$$\frac{1{,}7}{3} \times 45 = 25{,}5 \qquad \frac{45^2}{135} = 15$$

$$y(45) = 2 + 25{,}5 - 15 = 12{,}5\ \text{m}$$

O projétil passa pelo ponto marcado no obelisco: a 1ª afirmativa é V.

Passo 4 — o morro. No topo do morro (x = 25 m, altura 10 m):

$$\frac{1{,}7}{3} \times 25 \approx 14{,}2 \qquad \frac{25^2}{135} \approx 4{,}6$$

$$y(25) \approx 2 + 14{,}2 - 4{,}6 \approx 11{,}5\ \text{m}$$

O projétil passa cerca de 1,5 m acima do topo: não bate no morro. A 2ª afirmativa é F.

Passo 5 — o vértice. Para $y = ax^2 + bx + c$, o vértice está em $x_v = -b/(2a)$:

$$x_v = \frac{\sqrt{3}/3}{2/135} = \frac{135\sqrt{3}}{6} = 22{,}5\sqrt{3}$$

$$x_v = 22{,}5 \times 1{,}7 = 38{,}25\ \text{m}$$

A altura máxima sai mais fácil pela física: subindo, $v_y$ vai de 15 m/s a zero, o que leva o projétil a

$$\Delta y = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{225}{20} = 11{,}25\ \text{m}$$

acima do ponto de lançamento, ou seja, $y_v = 2 + 11{,}25 = 13{,}25$ m. O vértice é (38,25; 13,25): a 3ª afirmativa é V.

Passo 6 — a concavidade. Quem decide a concavidade de uma parábola é o sinal do coeficiente de $x^2$ (aqui, $-\frac{1}{135} < 0$: concavidade para baixo). O valor $f(0) = 2$ é só a altura de onde o projétil sai, o ponto em que o gráfico corta o eixo y. A 5ª afirmativa é F.

Sequência: V, F, V, V, F.

⚠️ A armadilha: confiar no desenho. A figura mostra uma trajetória batendo no morro, mas ela é só uma das “possíveis”: quem decide é a conta. Repare também que a 1ª e a 2ª afirmativas se contradizem, então não podem ser as duas V; isso já elimina a alternativa C.

A ideia em uma frase: no lançamento oblíquo, troque t por x/vₓ na equação da altura e a trajetória vira uma parábola — e aí é só testar os pontos que interessam.

Resposta: alternativa A (V, F, V, V, F).