UECE 2018.1 — questão 45 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quantas vezes a área total da amostra de partículas pequenas (B) é maior que a da amostra de partículas grandes (A), com a mesma massa total nas duas.

Passo 1 — a razão entre os raios. Mesma densidade, então massa é proporcional ao volume, que é proporcional a $r^3$. A grande tem o dobro da massa:

$$\frac{r_g^3}{r_p^3} = 2 \;\Rightarrow\; \frac{r_g}{r_p} = 2^{1/3}$$

Passo 2 — a área de cada partícula é proporcional a $r^2$:

$$\frac{A_g}{A_p} = \left(2^{1/3}\right)^2 = 2^{2/3}$$

Passo 3 — quantas partículas em cada amostra. Com a mesma massa total M, cabem o dobro de partículas pequenas:

$$N_p = \frac{M}{m}, \qquad N_g = \frac{M}{2m}$$

Passo 4 — a razão das áreas totais:

$$\frac{N_p A_p}{N_g A_g} = 2 \times \frac{1}{2^{2/3}} = 2^{1/3}$$

Conferindo por outro caminho: a área total de uma amostra é (número de esferas) × (área de cada uma) = $\dfrac{M}{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3} \times 4\pi r^2 = \dfrac{3M}{\rho\, r}$. Com M e ρ iguais, a área total é inversamente proporcional ao raio. A razão é $r_g/r_p = 2^{1/3}$. Mesmo resultado.

Isso mostra o ponto ambiental da questão: para a mesma massa de poluente, partículas menores expõem mais superfície.

⚠️ A armadilha: parar no Passo 2. A razão entre as áreas de uma partícula de cada tipo é $2^{2/3}$, a alternativa D, mas a questão compara as amostras inteiras, com números diferentes de partículas. Outra: ficar só na contagem de partículas, 2, a alternativa C.

A ideia em uma frase: com a mesma massa total, a área total de esferas é inversamente proporcional ao raio — e dobrar a massa de cada uma multiplica o raio por 2^(1/3).

Resposta: alternativa A ($2^{1/3}$).