FUVEST 2025 (2ª fase) — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quanto aumentou o módulo da velocidade da sonda; (b) as componentes de $\Delta\vec{Q}$ da sonda e a tangente do seu ângulo com o eixo $x$; (c) que fração da energia cinética do planeta ele perdeu.

Item (a) — módulo em B, por Pitágoras. Em $A$ o módulo é 20 km/s. Em $B$:

$$v_B = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2}$$

$$v_B = \sqrt{625} = 25\ \text{km/s}$$

O aumento foi de $25 - 20 = 5$ km/s.

Item (b) — componente a componente. A variação da quantidade de movimento é $\Delta\vec{Q} = m(\vec{v}_B - \vec{v}_A)$, com $\vec{v}_A = (20;\ 0)$ km/s e $\vec{v}_B = (-7;\ -24)$ km/s:

$$\Delta Q_x = 500 \times (-7 - 20)$$

$$\Delta Q_x = -13\,500\ \text{kg}\cdot\text{km/s}$$

$$\Delta Q_y = 500 \times (-24 - 0)$$

$$\Delta Q_y = -12\,000\ \text{kg}\cdot\text{km/s}$$

Em unidades do SI (1 km/s = 1000 m/s): $\Delta Q_x = -1{,}35 \times 10^7$ kg·m/s e $\Delta Q_y = -1{,}2 \times 10^7$ kg·m/s.

Item (b) — a tangente. O ângulo com o eixo $x$ tem tangente igual a componente $y$ sobre componente $x$:

$$\text{tg}\,\alpha = \frac{\Delta Q_y}{\Delta Q_x} = \frac{-12\,000}{-13\,500}$$

$$\text{tg}\,\alpha = \frac{8}{9} \approx 0{,}89$$

(As duas componentes são negativas: o vetor aponta para baixo e para a esquerda, no terceiro quadrante. É para esse lado que o planeta “puxou” a sonda.)

Item (c) — a energia que a sonda ganhou saiu do planeta. Em $A$ e $B$ a energia potencial da interação é desprezível, e a do Sol também pode ser ignorada; então a energia cinética total se conserva, e o que a sonda ganhou o planeta perdeu:

$$\Delta E_{\text{sonda}} = \tfrac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2)$$

$$= 250 \times (625 - 400) \times 10^6$$

$$\Delta E_{\text{sonda}} = 5{,}625 \times 10^{10}\ \text{J}$$

Logo $\Delta E_{\text{planeta}} = -5{,}625 \times 10^{10}$ J. A energia cinética inicial do planeta, com $V = 5$ km/s $= 5 \times 10^3$ m/s:

$$E_{\text{planeta}} = \tfrac{1}{2} M V^2$$

$$= 10^{27} \times 25 \times 10^6$$

$$E_{\text{planeta}} = 2{,}5 \times 10^{34}\ \text{J}$$

Item (c) — a razão:

$$\frac{\Delta E_{\text{planeta}}}{E_{\text{planeta}}} = \frac{-5{,}625 \times 10^{10}}{2{,}5 \times 10^{34}}$$

$$\frac{\Delta E_{\text{planeta}}}{E_{\text{planeta}}} = -2{,}25 \times 10^{-24}$$

O sinal negativo indica perda; a fração é tão pequena que a trajetória e a velocidade do planeta “praticamente não se alteram”, como diz o enunciado.

Solução alternativa (também aceita pela banca): usar a conservação da quantidade de movimento. O planeta recebe $-\Delta\vec{Q}$ da sonda; como $\Delta\vec{Q}$ é minúsculo perto de $M\vec{V}$, a variação da energia cinética do planeta é, em boa aproximação, $\vec{V} \cdot (-\Delta\vec{Q})$ $= (-5 \times 10^3) \times (1{,}35 \times 10^7) \approx -6{,}75 \times 10^{10}$ J, o que dá a razão $-2{,}7 \times 10^{-24}$. O guia oficial aceita os dois valores e explica que a pequena diferença vem do ajuste feito nos números da velocidade em $B$ para facilitar as contas.

⚠️ A armadilha: no item (a), subtrair os vetores e responder o módulo de $\vec{v}_B - \vec{v}_A$ ($\sqrt{27^2 + 24^2} \approx 36$ km/s): a pergunta é o aumento do módulo, $25 - 20 = 5$ km/s. No item (b), o contrário: subtrair só os módulos e fazer $500 \times 5$; a quantidade de movimento é vetor e tem de ser subtraída componente a componente.

A ideia em uma frase: no estilingue gravitacional a sonda ganha energia cinética à custa do planeta, que, de tão maciço, perde uma fração ínfima da sua.

Resposta: (a) $v_B = 25$ km/s, aumento de 5 km/s; (b) $\Delta Q_x = -13\,500$ kg·km/s $= -1{,}35 \times 10^7$ kg·m/s, $\Delta Q_y = -12\,000$ kg·km/s $= -1{,}2 \times 10^7$ kg·m/s, $\text{tg}\,\alpha = 8/9$; (c) $\Delta E/E = -2{,}25 \times 10^{-24}$ (pela conservação da energia; pela conservação da quantidade de movimento sai $-2{,}7 \times 10^{-24}$, também aceito).