FUVEST 2025 (2ª fase) — questão 4 de Física

DiscursivaOndas — ondas sísmicas: análise dimensional, comprimento de onda e lei de Snell2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)

Enunciado da questão 4 de Física do FUVEST 2025 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Ondas sísmicas são ondas que se propagam em camadas de rochas no interior do manto da Terra. Essas ondas podem ser longitudinais (como o som, por exemplo) ou transversais (como as ondas que se propagam em uma corda). Um tipo de onda sísmica transversal é a chamada onda secundária (ou “onda S” ou “onda de cisalhamento”) e sua velocidade é dada por

$v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}\,,$

em que $\mu$ é o módulo de cisalhamento e $\rho$ é a densidade (ou massa específica), parâmetros da rocha em que a onda se propaga.

a) Através de uma análise dimensional, determine a unidade do módulo de cisalhamento $\mu$ no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Na interface entre dois tipos de rocha, pode haver refração das ondas sísmicas, e a mudança de direção é dada pela Lei de Snell, conforme mostra o exemplo da figura a seguir.

(Figura: duas camadas horizontais, “Camada 1” em cima e “Camada 2” embaixo. O “Raio incidente” desce pela camada 1 formando o ângulo $\theta_1$ com a normal tracejada à interface; na camada 2 o “Raio refratado” segue mais inclinado, formando o ângulo $\theta_2$ com a normal, maior que $\theta_1$ . Ao lado, a relação $\dfrac{\text{sen}\,\theta_1}{v_{S1}} = \dfrac{\text{sen}\,\theta_2}{v_{S2}}$ .)

Velocidades de ondas S típicas de alguns materiais comuns no manto terrestre são dadas na tabela a seguir.

Material	Velocidade da onda S (m/s)
Granito	2900
Basalto	2600
Arenito	1400
Calcário	2700
Argila	700

Fontes: https://gpg.geosci.xyz/content/physical_properties/seismic_velocity_duplicate.html https://pburnley.faculty.unlv.edu/GEOL452_652/seismology/notes/SeismicNotes10RVel.html

Considere uma onda S harmônica de frequência 0,3 Hz propagando-se através de uma interface entre duas camadas com composições diferentes.

b) Se a camada 1 for predominantemente composta por basalto e a camada 2 por granito, qual será a variação no comprimento de onda, $\lambda_2 - \lambda_1$ ?

c) Em outra interface, são medidos $\text{sen}\,\theta_1 = 0{,}26$ e $\text{sen}\,\theta_2 = 0{,}52$ . Se a camada 1 for composta predominantemente de argila, qual será, dentre os materiais apresentados na tabela, aquele que melhor corresponderá à composição da camada 2? Justifique a sua resposta.

Note e adote: Unidade de densidade (massa específica) no SI: kg/m³.

(Enunciado e figura: Vestibular FUVEST 2025, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a unidade SI de $\mu$ ; (b) quanto muda o comprimento de onda ao passar do basalto para o granito; (c) qual rocha da tabela forma a camada 2, sabendo os senos dos ângulos.

Item (a) — isolando μ. Elevando a fórmula ao quadrado, $\mu = \rho\,v_S^2$ . Agora é só trocar cada grandeza pela sua unidade:

$[\mu] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$

$[\mu] = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2}$

Dá para reescrever: $\text{kg}/(\text{m}\cdot\text{s}^2) = (\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)/\text{m}^2 = \text{N/m}^2$ , que é o pascal (Pa), a unidade de pressão. Faz sentido: o módulo de cisalhamento mede tensão (força por área) que a rocha suporta por unidade de deformação.

Item (b) — a frequência não muda. Ao atravessar a interface, a onda mantém a frequência (quem a define é a fonte); o que muda é a velocidade e, com ela, o comprimento de onda $\lambda = v/f$ :

$\lambda_2 - \lambda_1 = \frac{v_{S2} - v_{S1}}{f}$

$\lambda_2 - \lambda_1 = \frac{2900 - 2600}{0{,}3}$

$\lambda_2 - \lambda_1 = 1000\ \text{m}$

(Separadamente: $\lambda_1 \approx 8667$ m no basalto e $\lambda_2 \approx 9667$ m no granito.)

Item (c) — Snell dá a razão das velocidades. Da lei de Snell do enunciado:

$\frac{v_{S2}}{v_{S1}} = \frac{\text{sen}\,\theta_2}{\text{sen}\,\theta_1} = \frac{0{,}52}{0{,}26} = 2$

Com a argila na camada 1 ( $v_{S1} = 700$ m/s):

$v_{S2} = 2 \times 700 = 1400\ \text{m/s}$

Na tabela, 1400 m/s é a velocidade da onda S no arenito. Então a camada 2 deve ser de arenito.

⚠️ A armadilha: no item (c), inverter a razão e fazer $v_{S2} = 700/2 = 350$ m/s, valor que não está na tabela. O raio se afasta da normal ( $\theta_2 > \theta_1$ ), então a onda está entrando num meio mais rápido. No item (b), achar que a frequência também muda na refração: ela é a mesma dos dois lados.

A ideia em uma frase: na refração a frequência fica e a velocidade muda; λ = v/f e sen θ é proporcional à velocidade.

Resposta: (a) $\mu = \rho v_S^2$ , unidade kg/(m·s²) = N/m² = Pa (pascal); (b) $\lambda_2 - \lambda_1 = (2900 - 2600)/0{,}3 = 1000$ m; (c) arenito, pois $v_{S2} = 700 \times 0{,}52/0{,}26 = 1400$ m/s.

Vídeo em breve

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