FUVEST 2025 (2ª fase) — questão 3 de Física

DiscursivaEletrostática — membrana celular como capacitor: carga, densidade superficial e capacitância2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 3 de Física do FUVEST 2025 (2ª fase)

Enunciado em texto

Uma membrana celular, situada entre o meio externo e o interior de uma célula, pode ser tratada de forma aproximada como um capacitor, cujas superfícies interna e externa apresentam excesso de ânions (cargas negativas) e de cátions (cargas positivas), respectivamente. Considere uma membrana celular cujas superfícies têm praticamente a mesma área A=1,2×10−9A = 1{,}2 \times 10^{-9} m² e densidades superficiais de carga de mesmo módulo σ=7×10−4\sigma = 7 \times 10^{-4} C/m².

a) Tratando, de forma aproximada, a membrana celular como uma casca esférica de espessura desprezível frente ao raio, encontre o volume da “célula” que essa membrana delimita.

b) Determine, em coulombs, o valor do módulo da carga elétrica em cada superfície.

c) Supondo que as cargas das superfícies têm agora módulo igual a 7×10−147 \times 10^{-14} C e que a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna vale V=70V = 70 mV, encontre a capacitância da membrana.

Note e adote: Uma esfera de raio RR tem área superficial igual a 4πR24\pi R^2 e volume 4πR3/34\pi R^3/3. Considere π≃3\pi \simeq 3.

(Enunciado: Vestibular FUVEST 2025, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o volume da célula esférica, a partir da área da membrana; (b) a carga em cada face; (c) a capacitância da membrana.

Item (a) — o raio, pela área. A membrana é uma casca esférica fina, então a sua área é a área da esfera. Com π=3\pi = 3, 4πR2=12R24\pi R^2 = 12R^2:

12R2=1,2×10−912R^2 = 1{,}2 \times 10^{-9}

R2=10−10 m2R^2 = 10^{-10}\ \text{m}^2

R=10−5 mR = 10^{-5}\ \text{m}

É um raio de 10 μm, tamanho típico de uma célula.

Item (a) — o volume. Com π=3\pi = 3, 4πR3/3=4R34\pi R^3/3 = 4R^3:

V=4R3=4×(10−5)3V = 4R^3 = 4 \times (10^{-5})^3

V=4×10−15 m3V = 4 \times 10^{-15}\ \text{m}^3

Item (b) — carga = densidade × área. A densidade superficial é carga por área, σ=Q/A\sigma = Q/A, então:

Q=σAQ = \sigma A

Q=7×10−4×1,2×10−9Q = 7 \times 10^{-4} \times 1{,}2 \times 10^{-9}

Q=8,4×10−13 CQ = 8{,}4 \times 10^{-13}\ \text{C}

Cada face tem essa carga em módulo: positiva por fora, negativa por dentro, como num capacitor.

Item (c) — capacitância. A capacitância é a carga armazenada por volt de diferença de potencial, com V=70V = 70 mV =7×10−2= 7 \times 10^{-2} V:

C=QV=7×10−147×10−2C = \frac{Q}{V} = \frac{7 \times 10^{-14}}{7 \times 10^{-2}}

C=10−12 F=1 pFC = 10^{-12}\ \text{F} = 1\ \text{pF}

⚠️ A armadilha: no item (c), esquecer o prefixo “mili” e dividir por 70 em vez de 0,07, o que dá 10−1510^{-15} F, mil vezes menos. No item (a), confundir o VV do volume com o VV da tensão do item (c): são grandezas diferentes que a prova chama pela mesma letra.

A ideia em uma frase: área da esfera dá o raio e o volume; carga é densidade vezes área; capacitância é carga dividida pela tensão.

Resposta: (a) R=10−5R = 10^{-5} m e volume =4×10−15= 4 \times 10^{-15} m³; (b) Q=σA=8,4×10−13Q = \sigma A = 8{,}4 \times 10^{-13} C; (c) C=Q/V=10−12C = Q/V = 10^{-12} F (1 pF).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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