FUVEST 2024 (2ª fase) — questão 6 de Física

DiscursivaFísica moderna — aurora polar: próton rápido, força magnética no elétron e energia do fóton verde2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 6 de Física do FUVEST 2024 (2ª fase)

Enunciado em texto

O fenômeno da aurora polar, há muito tempo conhecido nos hemisférios norte e sul do planeta Terra, caracteriza-se por um brilho observado no céu em decorrência de colisões entre os átomos da atmosfera, predominantemente oxigênio e nitrogênio, e as partículas (prótons e elétrons) lançadas por erupções solares e canalizadas pelo campo magnético terrestre.

a) Determine a velocidade (em m/s) de um próton com energia cinética de 3,2×10⁻¹³ J.

b) Considerando agora elétrons com velocidade de 1,6×10⁶ m/s e que descrevam órbitas circulares sob ação do campo magnético terrestre, cuja intensidade é de 10⁻⁴ T, calcule o módulo da força magnética atuando sobre cada elétron.

As diferentes cores observadas na aurora devem-se à emissão de fótons em processos de desexcitação de átomos presentes nas diferentes camadas da atmosfera. As cores mais comuns da luz associada a esses fótons são a verde e a vermelha, devido à predominância de oxigênio e nitrogênio nas altitudes de 200 km e 100 km, respectivamente.

c) Calcule (em joules) a variação da energia de um átomo quando este emite um fóton da cor verde.

Note e adote: 1eV = 1,6x10⁻¹⁹J; massa do próton = 1,6x10⁻²⁷ kg; massa do elétron = 9x10⁻³¹ kg; carga do elétron = 1,6x10⁻¹⁹ C; Comprimento de onda da luz verde: λ = 500 nm; Energia de um fóton de frequência ff: E=hfE = hf, onde hh = 6x10⁻³⁴ J.s; Velocidade da luz no vácuo: 3x10⁸ m/s; Um processo de desexcitação atômica envolve a passagem de um elétron de um nível atômico de energia mais alta para outro de energia mais baixa.

(Enunciado: Vestibular FUVEST 2024, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a velocidade de um próton com 3,2×10−133{,}2 \times 10^{-13} J de energia cinética; (b) a força magnética sobre um elétron em órbita circular no campo da Terra; (c) quanto muda a energia de um átomo que emite um fóton verde.

Item (a) — da energia cinética à velocidade. Ec=12mv2E_c = \frac{1}{2}mv^2, então:

v2=2Ecm=2×3,2×10−131,6×10−27v^2 = \frac{2E_c}{m} = \frac{2 \times 3{,}2 \times 10^{-13}}{1{,}6 \times 10^{-27}}

v2=4×1014 m2/s2v^2 = 4 \times 10^{14}\ \text{m}^2\text{/s}^2

v=2×107 m/sv = 2 \times 10^{7}\ \text{m/s}

Isso é cerca de 7% da velocidade da luz, ainda dá para usar a fórmula clássica. (Em elétron-volts, essa energia é 3,2×10−13/1,6×10−19=2×1063{,}2 \times 10^{-13}/1{,}6 \times 10^{-19} = 2 \times 10^6 eV =2= 2 MeV.)

Item (b) — força magnética. Se o elétron descreve uma circunferência sob ação só do campo magnético, sua velocidade é perpendicular a B⃗\vec B (com uma componente paralela, a trajetória seria uma hélice). Então sen θ=1\text{sen}\,\theta = 1 e:

F=∣q∣ v BF = |q|\,v\,B

F=1,6×10−19×1,6×106×10−4F = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 1{,}6 \times 10^{6} \times 10^{-4}

F=2,56×10−17 NF = 2{,}56 \times 10^{-17}\ \text{N}

Item (c) — a energia do fóton. O átomo perde exatamente a energia que o fóton leva. Com f=c/λf = c/\lambda:

E=h f=h cλE = h\,f = \frac{h\,c}{\lambda}

E=6×10−34×3×1085×10−7E = \frac{6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{5 \times 10^{-7}}

E=3,6×10−19 JE = 3{,}6 \times 10^{-19}\ \text{J}

A energia do átomo diminui 3,6×10−193{,}6 \times 10^{-19} J, ou seja, ΔE=−3,6×10−19\Delta E = -3{,}6 \times 10^{-19} J (cerca de 2,25 eV): o elétron desceu para um nível de energia mais baixa, como diz o “Note e adote”.

⚠️ A armadilha: no item (a), usar a massa do elétron (que está no mesmo quadro) em vez da do próton. No item (c), esquecer de converter nm para m (500 nm=5×10−7500\ \text{nm} = 5 \times 10^{-7} m). No item (b), procurar um ângulo que o enunciado não deu: a palavra “circulares” já garante que v⃗⊥B⃗\vec v \perp \vec B.

A ideia em uma frase: energia cinética dá a velocidade, órbita circular garante F=qvBF = qvB, e a energia que o átomo perde ao emitir é a do fóton, hc/λhc/\lambda.

Resposta: (a) v=2×107v = 2 \times 10^7 m/s; (b) F=2,56×10−17F = 2{,}56 \times 10^{-17} N; (c) a energia do átomo diminui 3,6×10−193{,}6 \times 10^{-19} J (ΔE=−3,6×10−19\Delta E = -3{,}6 \times 10^{-19} J).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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