FUVEST 2024 (2ª fase) — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) desenhar as forças elétricas entre próton e elétron; (b) comparar os tempos que elétron e próton levam para percorrer o mesmo arco; (c) a energia cinética do elétron girando em torno de um próton parado.

Atenção: no item (b), o enunciado impresso diz “o elétron e o pósitron”; pelo contexto (o átomo de hidrogênio da figura), a segunda partícula é o próton, e é assim que a questão é resolvida.

Item (a) — atração, ação e reação. Cargas de sinais opostos se atraem. Sobre o próton, a força aponta para o elétron (para a direita); sobre o elétron, a força aponta para o próton (para a esquerda). Pela terceira lei de Newton, as duas têm o mesmo módulo, $F = k_0 e^2/D^2$, a mesma direção (a reta que une os centros) e sentidos opostos. O desenho que vale a pontuação: duas setas de mesmo comprimento, uma saindo do próton para a direita e outra saindo do elétron para a esquerda, cada uma aplicada na sua partícula (a do próton, $\vec F_{e \to p}$, e a do elétron, $\vec F_{p \to e}$).

Item (b) — momento total nulo. A quantidade de movimento total é zero, então os momentos das duas partículas têm o mesmo módulo:

$$M\,V_p = m\,v_e \;\Rightarrow\; \frac{V_p}{v_e} = \frac{m}{M}$$

Em movimento uniforme, cada uma percorre o arco $\Delta s$ num tempo $\Delta t = \Delta s/v$:

$$\Delta s = v_e\,\Delta t_e = V_p\,\Delta t_p$$

$$\frac{\Delta t_e}{\Delta t_p} = \frac{V_p}{v_e} = \frac{m}{M} = \frac{1}{1800}$$

O elétron é 1800 vezes mais rápido: percorre o mesmo arco em 1/1800 do tempo. É essa diferença enorme que justifica a aproximação de Born-Oppenheimer: diante do elétron, o próton está praticamente parado.

Item (c) — a força elétrica é a centrípeta. Com o próton parado, o elétron faz um MCU de raio $D$, e a única força sobre ele, a atração de Coulomb, é a resultante centrípeta:

$$\frac{k_0\,e^2}{D^2} = \frac{m\,v_e^2}{D} \;\Rightarrow\; m\,v_e^2 = \frac{k_0\,e^2}{D}$$

$$E_c = \frac{1}{2}\,m\,v_e^2 = \frac{k_0\,e^2}{2D}$$

Conferindo: a energia potencial elétrica do par é $-k_0 e^2/D$; a cinética é metade disso em módulo. É o resultado clássico do modelo de Bohr.

⚠️ A armadilha: no item (a), desenhar a força sobre o próton maior (“porque ele tem mais massa”) ou menor (“porque ele quase não se mexe”): as forças são um par ação-reação e têm o mesmo módulo; quem difere é a aceleração. No item (b), inverter a razão e responder 1800: o elétron, mais leve, é o mais rápido e gasta menos tempo.

A ideia em uma frase: a atração entre próton e elétron tem o mesmo módulo nos dois, mas como o momento total é nulo o elétron, 1800 vezes mais leve, anda 1800 vezes mais rápido; e no MCU a força de Coulomb faz o papel de centrípeta, dando $E_c = k_0 e^2/2D$.

Resposta: (a) forças de atração de mesmo módulo $k_0e^2/D^2$: no próton, apontando para o elétron; no elétron, apontando para o próton; (b) $\Delta t_e/\Delta t_p = m/M = 1/1800$; (c) $E_c = \dfrac{k_0 e^2}{2D}$.