FUVEST 2024 (2ª fase) — questão 4 de Física

DiscursivaTermodinâmica — gás monoatômico: massa, energia interna e a massa da energia (E = mc²)2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 4 de Física do FUVEST 2024 (2ª fase)

Enunciado em texto

Considere uma amostra de 2 mols de um gás monoatômico, em que cada átomo possui uma massa de aproximadamente 7×10−247 \times 10^{-24} gramas. O gás pode ser tratado como ideal.

a) Determine a massa total do gás na amostra, em gramas.

b) A energia interna da amostra a uma temperatura de 300 K é de 7500 J. Quanta energia é preciso transferir para a amostra para que sua temperatura atinja 400 K?

c) A descoberta de Einstein sobre a equivalência entre massa e energia é válida mesmo em fenômenos mais familiares, como o aquecimento de um fluido, embora, nesse caso, o efeito seja muito pequeno para ser perceptível. Nesse contexto, calcule a variação na massa da amostra de gás do enunciado quando ela experimenta um processo de expansão ao longo do qual recebe 13500 J de calor do entorno e realiza um trabalho de 4500 J.

Note e adote: Número de Avogadro: 6×10²³ mol⁻¹; Relação de Einstein: E=mc2E = mc^2; Velocidade da luz no vácuo: 3×10⁸ m/s

(Enunciado: Vestibular FUVEST 2024, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a massa dos 2 mols de gás; (b) quanta energia levar o gás de 300 K para 400 K; (c) quanto muda a massa do gás quando ele recebe 13 500 J de calor e realiza 4500 J de trabalho.

Item (a) — número de átomos vezes massa de cada um. Em 2 mols há N=2×6×1023=1,2×1024N = 2 \times 6 \times 10^{23} = 1{,}2 \times 10^{24} átomos:

M=N m=1,2×1024×7×10−24M = N\,m = 1{,}2 \times 10^{24} \times 7 \times 10^{-24}

M=8,4 gM = 8{,}4\ \text{g}

(É a massa molar 4,2 g/mol vezes 2 mols.)

Item (b) — a energia interna é proporcional a T. Para um gás ideal monoatômico, U=32nRTU = \frac{3}{2}nRT: com o número de mols fixo, UU é diretamente proporcional à temperatura absoluta.

U400=7500×400300=10 000 JU_{400} = 7500 \times \frac{400}{300} = 10\,000\ \text{J}

ΔU=10 000−7500=2500 J\Delta U = 10\,000 - 7500 = 2500\ \text{J}

Essa é a energia que precisa ficar no gás. Ela é exatamente o calor a fornecer se o aquecimento for a volume constante (sem trabalho); se o gás se expandir enquanto esquenta, parte do calor sai como trabalho e é preciso fornecer mais. A resposta esperada é 2500 J.

Item (c) — primeira lei e depois Einstein. A variação da energia interna é o calor recebido menos o trabalho realizado:

ΔU=Q−W=13 500−4500\Delta U = Q - W = 13\,500 - 4500

ΔU=9000 J\Delta U = 9000\ \text{J}

A energia do gás aumentou 9000 J; pela relação de Einstein, a massa aumentou Δm=ΔU/c2\Delta m = \Delta U/c^2:

Δm=9000(3×108)2=9×1039×1016\Delta m = \frac{9000}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{9 \times 10^3}{9 \times 10^{16}}

Δm=1×10−13 kg\Delta m = 1 \times 10^{-13}\ \text{kg}

Um aumento de 10−1310^{-13} kg (10−1010^{-10} g) numa amostra de 8,4 g: cerca de 11 ordens de grandeza menor, impossível de perceber numa balança.

⚠️ A armadilha: no item (c), usar o calor todo (13 50013\,500 J) ou somar calor e trabalho (18 00018\,000 J). O que fica no gás, e portanto o que conta como massa, é só a variação da energia interna, Q−W=9000Q - W = 9000 J. No item (b), responder 10 000 J, que é a energia interna final: o gás já tem 7500 J, e só é preciso fornecer a diferença.

A ideia em uma frase: a energia interna de um gás ideal acompanha a temperatura absoluta; e toda energia que fica no gás vem acompanhada de uma massa ΔU/c2\Delta U/c^2, real mas minúscula.

Resposta: (a) M=8,4M = 8{,}4 g; (b) ΔU=2500\Delta U = 2500 J; (c) Δm=(Q−W)/c2=1×10−13\Delta m = (Q - W)/c^2 = 1 \times 10^{-13} kg (aumento).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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