FUVEST 2023 (2ª fase) — questão 6 de Física

DiscursivaCinemática — tempo de reação numa fila de carros e o “horizonte de eventos” do trânsito2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)

Enunciado da questão 6 de Física do FUVEST 2023 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre congestionamentos de carros e a física de buracos negros (Luanna K. de Souza, George E. A. Matsas, “Black-hole analog in vehicular traffic”, American J. of Phys. 90, 692 (2022)).

Considere uma fila de 9 carros inicialmente em posições $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_8$ separados um do outro por uma distância $D$ e se movendo com velocidade constante $v$ na direção negativa de um eixo x.

No instante inicial, o carro 0 freia, acionando sua luz de freio. Após um tempo de reação $T_1$ , o carro 1 freia, acionando agora a sua luz de freio. O carro 2, por sua vez, freia e aciona sua luz de freio um tempo $T_2$ após o carro 1 acionar a sua luz de freio e assim sucessivamente.

(Figura: um eixo x horizontal orientado para a direita. Sobre ele, três carros iguais nas posições $x_0$ (à esquerda), $x_1$ e $x_2$ (à direita), com a distância $D$ entre $x_0$ e $x_1$ e entre $x_1$ e $x_2$ ; cada carro tem um vetor $\vec v$ apontando para a esquerda. Reticências depois do terceiro carro indicam que a fila continua.)

Para este problema, considere que no instante da primeira frenagem (instante inicial): (i) o carro 0 esteja localizado na origem ( $x_0 = 0$ ); (ii) a distância entre os carros seja de $D = 20$ m; e (iii) todos os carros tenham a mesma velocidade escalar $|\vec v| = v_{\text{ini}}$ .

a) Dada a velocidade $v_{\text{ini}} = 72$ km/h, calcule o tempo de reação máximo $T_{\text{máx}}$ para que não ocorram colisões entre quaisquer dois carros.

Texto para os itens (b) e (c):

Em geral, os tempos de reação dos motoristas não são iguais. Por exemplo, se os primeiros carros estiverem envoltos em neblina ou fumaça, os tempos de reação serão maiores para os primeiros carros da fila e menores para os últimos carros da fila. Considere a tabela a seguir, que mostra os tempos de reação $T_1$ , $T_2$ , …, $T_8$ (em segundos) retratando uma situação como essa.

Índice $j$	$T_j$ (s)
1	4,5
2	2,3
3	1,6
4	1,0
5	0,90
6	0,75
7	0,64
8	0,56

Se o tempo de reação de um dado carro for maior que $T_{\text{máx}}$ , este carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente. Em uma analogia proposta pelos autores do artigo, este carro entra no “horizonte de eventos” de um “buraco negro veicular”.

b) Suponha agora uma outra velocidade $v_{\text{ini}}$ tal que $T_{\text{máx}} = 0{,}89$ s. Utilizando os dados da tabela, determine, em metros, a posição do “horizonte de eventos”, ou seja, a posição $x_H$ tal que todos os carros com posição inicial $x_j \leq x_H$ inevitavelmente colidirão com o carro da frente.

c) Calcule o intervalo de velocidades $v_{\text{ini}}$ compatível com $x_H = 60$ m.

Note e adote: Assuma que a distância entre os carros $D$ seja muito maior que o comprimento dos carros. Considere que, dada a velocidade $v_{\text{ini}}$ , após o acionamento dos freios, todos os carros que não colidem percorrem uma mesma distância até atingirem o repouso. Tempo de reação: O intervalo de tempo que o motorista demora para acionar o freio após ver o sinal emitido pelo carro da frente. Horizonte de eventos de um buraco negro: Superfície teórica em torno de seu centro a partir da qual nenhum outro evento pode fazer com que um objeto ou radiação escape de, eventualmente, ser sugado em direção ao centro do buraco negro. No caso do “buraco negro veicular” é o ponto a partir do qual um carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente e não pode escapar de uma colisão em seu futuro do mesmo modo que nada (nem a luz) escapa de um buraco negro real.

(Enunciado e figura: Vestibular FUVEST 2023, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o maior tempo de reação que ainda evita batidas, a 72 km/h; (b) até que posição da fila os carros batem, quando $T_{\text{máx}} = 0{,}89$ s; (c) que velocidades fazem esse “horizonte” ficar em 60 m.

Item (a) — o que o atraso faz com a distância. Pelo “Note e adote”, todo carro, depois que freia, percorre a mesma distância até parar. Então o carro de trás repete exatamente o movimento do carro da frente, só que atrasado de $T$ . Durante esse atraso, o de trás ainda anda a $v$ , “comendo” $vT$ da distância $D$ . Ao final, os dois parados, a distância entre eles é

$D_{\text{final}} = D - v\,T$

E essa é a menor distância de todo o processo: enquanto os dois se movem, o de trás está sempre um pouco mais rápido (ele está “atrasado” na freada), então a distância só diminui até os dois pararem. Para não haver colisão, $D - vT$ não pode ficar negativo:

$T_{\text{máx}} = \frac{D}{v}$

Com $v = 72$ km/h $= 20$ m/s:

$T_{\text{máx}} = \frac{20\ \text{m}}{20\ \text{m/s}} = 1{,}0\ \text{s}$

Item (b) — quem está dentro do horizonte. Os carros andam no sentido negativo de x com o carro 0 na origem, então os de trás estão em $x_j = j\,D = 20j$ m. Colide quem tem $T_j > 0{,}89$ s: pela tabela, $T_1$ a $T_5$ (4,5; 2,3; 1,6; 1,0; 0,90). O carro 6 ( $T_6 = 0{,}75$ s) e os seguintes não colidem. O último carro que bate é o 5:

$x_H = x_5 = 5 \times 20 = 100\ \text{m}$

Repare no papel da neblina: quem está na frente da fila reage mais devagar e fica preso no “buraco negro”; o carro 5 escapa por muito pouco do outro lado (0,90 s contra 0,89 s).

Item (c) — de trás para a frente. Para $x_H = 60$ m $= x_3$ , o carro 3 tem de colidir e o carro 4 não:

$T_4 \leq T_{\text{máx}} < T_3$

$1{,}0\ \text{s} \leq T_{\text{máx}} < 1{,}6\ \text{s}$

Como $T_{\text{máx}} = D/v$ , a velocidade é $v = D/T_{\text{máx}}$ (tempo maior, velocidade menor):

$v = \frac{20}{1{,}6} = 12{,}5\ \text{m/s}$

$v = \frac{20}{1{,}0} = 20\ \text{m/s}$

Então $12{,}5\ \text{m/s} < v_{\text{ini}} \leq 20\ \text{m/s}$ , ou seja, entre 45 km/h e 72 km/h.

Atenção: o guia da FUVEST escreve o intervalo como $12{,}5 \leq v_{\text{ini}} < 20$ m/s, contando como colisão o caso-limite $T = T_{\text{máx}}$ (o carro para exatamente encostado no da frente). Pela regra do enunciado (“maior que $T_{\text{máx}}$ ” colide), os extremos ficam ao contrário, como acima. A diferença está só nos dois extremos; o intervalo é o mesmo: de 12,5 m/s a 20 m/s.

⚠️ A armadilha: no item (a), achar que é preciso saber a desaceleração ou a distância de frenagem. Não é: como todos param na mesma distância, ela se cancela, e só sobra o “atraso” $vT$ . No item (c), inverter as desigualdades: tempo de reação máximo maior corresponde a velocidade menor.

A ideia em uma frase: se todos freiam igual, o carro de trás só perde a distância que anda durante o tempo de reação, $vT$ ; não há batida enquanto $T < D/v$ .

Resposta: (a) $T_{\text{máx}} = D/v = 1{,}0$ s; (b) $x_H = 5D = 100$ m; (c) $v_{\text{ini}}$ entre 12,5 m/s e 20 m/s (45 a 72 km/h); o guia escreve $12{,}5 \leq v_{\text{ini}} < 20$ m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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