FUVEST 2023 (2ª fase) — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) traçar os dois raios refletidos; (b) o “aumento” $A = H_I/H$ do Hubble ($d_f = d$) em função de $D$ e $d$; (c) a razão entre o aumento do James Webb ($d_f = 2d$) e o do Hubble.

Item (a) — os raios notáveis do espelho côncavo. Duas regras que valem para qualquer espelho esférico (nas condições de Gauss):

• o raio 1, que chega paralelo ao eixo, reflete passando pelo foco $F$;

• o raio 2, que chega passando pelo foco, reflete paralelo ao eixo.

O desenho que vale a pontuação: do ponto em que o raio 1 toca o espelho (na altura de A), uma reta que desce, volta para a esquerda e passa por $F$, continuando abaixo do eixo; do ponto em que o raio 2 toca o espelho (abaixo do eixo), uma reta horizontal voltando para a esquerda, paralela ao eixo. As duas retas refletidas se cruzam abaixo do eixo, um pouco à esquerda de $F$: ali está a imagem da estrela A (real e invertida).

Item (b) — onde a imagem se forma. A estrela B está no eixo, então sua imagem também fica no eixo; a imagem de A fica na mesma vertical, a uma distância $D_I$ do espelho, e a distância entre as duas imagens é $H_I$. O “Note e adote” é a equação de Gauss, com objeto a uma distância $D$ e foco $d$:

$$\frac{1}{d} = \frac{1}{D} + \frac{1}{D_I}$$

$$\frac{1}{D_I} = \frac{1}{d} - \frac{1}{D} = \frac{D - d}{D\,d}$$

$$D_I = \frac{D\,d}{D - d}$$

O aumento. O raio que vai de A até o vértice $V$ volta simétrico em relação ao eixo; os dois triângulos (objeto–vértice e imagem–vértice) são semelhantes, então a razão das alturas é a razão das distâncias:

$$A = \frac{H_I}{H} = \frac{D_I}{D}$$

$$A = \frac{d}{D - d}$$

Como as estrelas estão muitíssimo mais longe que a distância focal ($D \gg d$), $A \approx d/D$, um número bem menor que 1: a imagem é minúscula (e invertida), como o enunciado avisa.

Item (c) — trocando o foco por 2d. É a mesma conta, com $2d$ no lugar de $d$:

$$A_{\text{JW}} = \frac{2d}{D - 2d}$$

Dividindo pelo aumento do Hubble:

$$\frac{A_{\text{JW}}}{A_{\text{H}}} = \frac{2d}{D - 2d} \cdot \frac{D - d}{d}$$

$$\frac{A_{\text{JW}}}{A_{\text{H}}} = \frac{2\,(D - d)}{D - 2d}$$

Conferindo: para estrelas muito distantes ($D \gg d$), a razão tende a $2D/D = 2$: dobrar a distância focal dobra o tamanho da imagem, e duas estrelas próximas aparecem mais separadas no James Webb.

⚠️ A armadilha: no item (b), usar a distância de $F$ até as estrelas, ou chamar de $D$ a distância da imagem; outra é escrever $A = D/(D - d)$, invertendo a razão das distâncias. O aumento é distância da imagem sobre distância do objeto, $D_I/D$. No item (a), errar qual raio passa pelo foco: quem chega paralelo sai pelo foco, e quem chega pelo foco sai paralelo.

A ideia em uma frase: pela equação de Gauss, a imagem de um objeto distante fica perto do foco e o aumento é $d/(D - d)$; dobrar a distância focal praticamente dobra o aumento.

Resposta: (a) raio 1 refletido passando por $F$; raio 2 refletido paralelo ao eixo (eles se cruzam abaixo do eixo, na imagem de A); (b) $A = \dfrac{d}{D - d}$; (c) $\dfrac{A_{\text{JW}}}{A_{\text{H}}} = \dfrac{2(D - d)}{D - 2d}$ ($\approx 2$ para $D \gg d$).