FUVEST 2023 (2ª fase) — questão 5 de Física

DiscursivaOndas — efeito Doppler num sonar de velocidade (ida e volta)2ª fase · 2º dia · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 5 de Física do FUVEST 2023 (2ª fase)

Enunciado em texto

O efeito Doppler é caracterizado pela detecção de uma frequência diferente daquela emitida pela fonte, devido ao movimento relativo entre fonte e observador. Ele possui diversas aplicações, seja na medicina, astronomia ou ainda em sonares de velocidade, nos quais a velocidade de um objeto é medida comparando-se a frequência sonora emitida com aquela que é detectada.

Considere um sonar de velocidade que envia ondas sonoras de 0,10 MHz em direção a um veículo que se aproxima com velocidade desconhecida.

a) Calcule o comprimento de onda emitido pelo sonar.

b) Suponha que exista um detector de ondas sonoras no carro. Calcule a frequência detectada por este detector considerando que o carro se aproxima do sonar com velocidade de 30 m/s.

c) Encontre a velocidade do veículo sabendo que o sonar detecta uma frequência de 0,15 MHz refletida de volta, do carro para o sonar.

Note e adote: Considere a velocidade do som como 300 m/s. No efeito Doppler, a frequência fdf_d detectada pelo observador e a frequência fef_e emitida pela fonte se relacionam de acordo com a expressão: fdvs±vd=fevs±ve\frac{f_d}{v_s \pm v_d} = \frac{f_e}{v_s \pm v_e}, onde vsv_s é a velocidade do som, vdv_d é a velocidade do observador e vev_e é a velocidade da fonte de emissão. Os sinais "+" e "−" são escolhidos de acordo com o movimento relativo entre fonte e observador.

(Enunciado: Vestibular FUVEST 2023, 2ª fase — Fuvest/USP.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à FUVEST.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o comprimento de onda do som do sonar; (b) a frequência que um detector no carro registra; (c) a velocidade do carro a partir da frequência do eco.

Item (a) — equação fundamental da onda. v=λfv = \lambda f, com f=0,10f = 0{,}10 MHz =1,0×105= 1{,}0 \times 10^5 Hz:

λ=vf=3001,0×105\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{1{,}0 \times 10^5}

λ=3,0×10−3 m=3,0 mm\lambda = 3{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 3{,}0\ \text{mm}

(É ultrassom: 100 kHz está muito acima do que o ouvido humano capta.)

Item (b) — observador que se aproxima. O sonar (fonte) está parado; o carro (observador) vem ao encontro da onda, então ele cruza mais frentes de onda por segundo: sinal ++ no termo do observador.

fc300+30=f300+0\frac{f_c}{300 + 30} = \frac{f}{300 + 0}

fc=0,10×330300=0,11 MHzf_c = 0{,}10 \times \frac{330}{300} = 0{,}11\ \text{MHz}

Ou seja, 1,1×1051{,}1 \times 10^5 Hz.

Item (c) — duas etapas. O eco sofre Doppler duas vezes:

1) na ida, o carro é observador que se aproxima de uma fonte parada: recebe fc=f (v+vc)/vf_c = f\,(v + v_c)/v;

2) na volta, o carro reflete essa frequência fcf_c e passa a ser fonte que se aproxima de um observador parado (o sonar): as frentes de onda ficam “espremidas”, sinal −- no termo da fonte.

fs=fc vv−vc=f v+vcv−vcf_s = f_c\,\frac{v}{v - v_c} = f\,\frac{v + v_c}{v - v_c}

Com fs/f=0,15/0,10=1,5f_s/f = 0{,}15/0{,}10 = 1{,}5:

1,5=300+vc300−vc1{,}5 = \frac{300 + v_c}{300 - v_c}

450−1,5 vc=300+vc450 - 1{,}5\,v_c = 300 + v_c

2,5 vc=150  ⇒  vc=60 m/s2{,}5\,v_c = 150 \;\Rightarrow\; v_c = 60\ \text{m/s}

São 216 km/h: um carro bem acima de qualquer limite de velocidade.

Conferindo: com 60 m/s, o carro recebe 0,10×360/300=0,120{,}10 \times 360/300 = 0{,}12 MHz e devolve 0,12×300/240=0,150{,}12 \times 300/240 = 0{,}15 MHz. Bate.

⚠️ A armadilha: aplicar o Doppler uma vez só. Tratando o carro só como observador, 1,5=(300+vc)/3001{,}5 = (300 + v_c)/300 dá 150 m/s; tratando-o só como fonte, 1,5=300/(300−vc)1{,}5 = 300/(300 - v_c) dá 100 m/s. O eco carrega os dois efeitos: o carro primeiro ouve e depois emite.

A ideia em uma frase: no radar sonoro, o alvo é observador na ida e fonte na volta, e a frequência do eco é f(v+vc)/(v−vc)f(v + v_c)/(v - v_c).

Resposta: (a) λ=3,0×10−3\lambda = 3{,}0 \times 10^{-3} m (3 mm); (b) fc=0,11f_c = 0{,}11 MHz =1,1×105= 1{,}1 \times 10^5 Hz; (c) vc=60v_c = 60 m/s.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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