FUVEST 2023 (2ª fase) — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) se o conjunto mergulhador + cilindro afunda ou sobe quando ele para de nadar; (b) a profundidade em que a pressão absoluta é 2,0 atm; (c) quantas vezes a bolha cresce do fundo até a superfície.

Item (a) — comparar densidades. O conjunto tem massa $75 + 15 = 90$ kg e volume $70 + 10 = 80$ L. Sua densidade média é

$$\rho_{\text{conj}} = \frac{90\ \text{kg}}{80\ \text{L}} = 1{,}125\ \text{kg/L}$$

maior que a da água (1,0 kg/L). Em forças: o peso é $90 \times 10 = 900$ N e o empuxo é o peso dos 80 L de água deslocada, $80 \times 10 = 800$ N. O peso vence: o conjunto afunda.

Item (b) — Lei de Stevin. Na superfície do lago a pressão é a atmosférica, $p_0 = 1{,}0$ atm. A cada metro de descida soma-se $\rho g$ por metro:

$$p = p_0 + \rho\,g\,h$$

$$h = \frac{p - p_0}{\rho\,g} = \frac{(2{,}0 - 1{,}0) \times 10^5}{10^3 \times 10}$$

$$h = 10\ \text{m}$$

É a regra prática dos mergulhadores: a cada 10 m de água, mais 1 atm.

Item (c) — a bolha como gás ideal. A quantidade de ar não muda, então vale a equação geral dos gases, com temperaturas em kelvin: $T_1 = 7 + 273 = 280$ K (fundo) e $T_0 = 27 + 273 = 300$ K (superfície). Perto da superfície a pressão é $p_0 = 1{,}0$ atm.

$$\frac{p_0\,V_0}{T_0} = \frac{p_1\,V_1}{T_1}$$

$$\frac{V_0}{V_1} = \frac{p_1}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T_1}$$

$$\frac{V_0}{V_1} = \frac{2{,}8}{1{,}0} \cdot \frac{300}{280}$$

$$\frac{V_0}{V_1} = 3{,}0$$

A pressão cai para menos da metade (de 2,8 para 1,0 atm) e a água ainda esquenta: a bolha chega à superfície com o triplo do volume.

⚠️ A armadilha: no item (c), usar as temperaturas em graus Celsius: $2{,}8 \times 27/7 \approx 10{,}8$, um resultado sem sentido. A lei dos gases só funciona com temperatura absoluta. No item (b), esquecer a pressão atmosférica e achar $h = 20$ m: o manômetro marca pressão absoluta.

A ideia em uma frase: afunda quem é mais denso que a água; a pressão sobe 1 atm a cada 10 m de água; e uma bolha que sobe cresce na razão $(p_1/p_0)(T_0/T_1)$, com T em kelvin.

Resposta: (a) afunda: a densidade do conjunto é $90/80 = 1{,}125$ kg/L, maior que a da água (peso de 900 N contra empuxo de 800 N); (b) $h = 10$ m; (c) $V_0/V_1 = 3{,}0$.