FUVEST 2023 (2ª fase) — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a razão entre as potências dos dois fios; (b) como a corrente total se divide entre eles; (c) o campo magnético no ponto $C$, no meio dos dois fios, quando $I_1 = I_2/4$.

Item (a) — resistências e potências. Pela segunda lei de Ohm, $R = \rho L/A$. Os fios têm o mesmo $L$ e a mesma $A$, então $R_1/R_2 = \rho_1/\rho_2$. Em paralelo, os dois estão sob a mesma tensão $V$, e a potência é $P = V^2/R$:

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{V^2/R_1}{V^2/R_2} = \frac{R_2}{R_1}$$

$$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$

O fio de menor resistividade dissipa mais potência.

Item (b) — o divisor de corrente. Mesma tensão nos dois ($R_1 I_1 = R_2 I_2$) e as correntes somam a total ($I_1 + I_2 = I$). Resolvendo:

$$I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,I = \frac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}\,I$$

$$I_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,I = \frac{\rho_1}{\rho_1 + \rho_2}\,I$$

Item (c) — o sentido das correntes nos fios. Seguindo a seta, a corrente sai da bateria para a direita, sobe pelo condutor da direita, entra nos dois fios pela ponta direita e percorre os dois da direita para a esquerda, voltando pelo condutor da esquerda. Correntes no mesmo sentido, com $C$ entre os fios: pela regra da mão direita, o fio 1 (acima de $C$) cria em $C$ um campo saindo da página, e o fio 2 (abaixo de $C$) cria um campo entrando. Os campos se subtraem.

Os valores das correntes. Com $I_1 = I_2/4$ e $I_1 + I_2 = I$:

$$\frac{I_2}{4} + I_2 = I \;\Rightarrow\; I_2 = \frac{4I}{5},\quad I_1 = \frac{I}{5}$$

O campo resultante. Cada fio está a $r = d/2$ de $C$, e $\mu_0 I/(2\pi \cdot d/2) = \mu_0 I/(\pi d)$:

$$B_C = \frac{\mu_0 I_2}{\pi d} - \frac{\mu_0 I_1}{\pi d}$$

$$B_C = \frac{\mu_0}{\pi d}\left(\frac{4I}{5} - \frac{I}{5}\right)$$

$$B_C = \frac{3\,\mu_0\,I}{5\,\pi\,d}$$

Prevalece o fio 2, de corrente maior: o campo resultante em $C$ aponta para dentro da página.

⚠️ A armadilha: somar os dois campos, como se apontassem para o mesmo lado, e achar $\mu_0 I/(\pi d)$. Entre dois fios com correntes no mesmo sentido, os campos são opostos; só se somariam se as correntes fossem opostas. Outra: usar $r = d$ em vez de $d/2$, o que dá metade do valor certo.

A ideia em uma frase: em paralelo a tensão é a mesma, então a potência e a corrente são inversamente proporcionais à resistividade; e entre dois fios com correntes no mesmo sentido os campos se subtraem.

Resposta: (a) $P_1/P_2 = \rho_2/\rho_1$; (b) $I_1 = \dfrac{\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}I$ e $I_2 = \dfrac{\rho_1}{\rho_1 + \rho_2}I$; (c) $B_C = \dfrac{3\mu_0 I}{5\pi d}$ (para dentro da página).