UPE 2024 (SSA 3) — questão 22 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o raio da trajetória circular dos íons ${}^{235}\text{U}^+$ no campo de 0,32 T, usando as relações do quadro do desenho.

Passo 1 — as duas equações do quadro. O íon é acelerado por uma diferença de potencial $V$ e ganha energia cinética $eV = \frac{1}{2}mv^2$. Dentro do campo magnético (no quadro, H é o campo), a força magnética faz o papel de resultante centrípeta: $evB = mv^2/R$. Eliminando $v$:

$$\frac{m}{e} = \frac{B^2R^2}{2V} \Rightarrow R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Vm}{e}}$$

Passo 2 — razão massa/carga.

$$m = 235 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$$

$$\frac{m}{e} = \frac{235 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}}$$

$$\frac{m}{e} = 2{,}35 \cdot 10^{-6}\ \text{kg/C}$$

Passo 3 — qual tensão usar. O desenho mostra a fonte a +35 kV e o eletrodo de aceleração a −20 kV, e o enunciado não diz qual diferença de potencial entra na conta. A leitura que leva a uma das alternativas é tomar $V = 20$ kV, a tensão do eletrodo de aceleração. (Com 35 kV o raio daria cerca de 1,3 m, e com os 55 kV entre +35 kV e −20 kV, cerca de 1,6 m; nenhum dos dois está nas alternativas.)

Passo 4 — o raio. Com $V = 2{,}0 \cdot 10^4$ V:

$$\frac{2Vm}{e} = 2 \cdot 2{,}0 \cdot 10^4 \cdot 2{,}35 \cdot 10^{-6}$$

$$\frac{2Vm}{e} = 0{,}094\ \text{m}^2\text{T}^2$$

$$R_1 = \frac{\sqrt{0{,}094}}{0{,}32} \approx \frac{0{,}307}{0{,}32}$$

$$R_1 \approx 0{,}96\ \text{m} \approx 95\ \text{cm}$$

Conferindo: a ordem de grandeza (um metro) bate com o tamanho real das câmaras dos calutrons. E, para a mesma tensão e o mesmo campo, $R \propto \sqrt{m}$: o ${}^{238}\text{U}$ (M2, pesado) faz um arco só um pouco maior, cerca de 0,6% a mais, e é essa pequena diferença que os receptores separam.

Sobre a alternativa C (indicada no gabarito preliminar da UPE; no definitivo, a questão foi anulada): 48 cm é exatamente a metade do raio calculado ($0{,}96/2 = 0{,}48$ m), como se o valor obtido fosse o diâmetro do semicírculo. Mas $R = mv/(eB)$ é o raio. Nenhuma das tensões do desenho dá 48 cm como raio: seria preciso $V \approx 5$ kV (com 20 kV dá 0,96 m; com 35 kV, 1,3 m; com 55 kV, 1,6 m). Mudar a carga também não resolve: com carga $+2e$, o raio cai só pelo fator $\sqrt{2}$, para cerca de 0,68 m. Pela física, o raio é de cerca de 95 cm.

⚠️ A armadilha: esquecer a raiz quadrada ao isolar R e fazer só 0,094/0,32: dá cerca de 0,29 m, um valor errado que fica perto da alternativa B. Isole R com cuidado: R = (1/B)·√(2Vm/e).

A ideia em uma frase: no espectrômetro de massa, a energia vem da tensão (eV = mv²/2) e o raio vem do campo (evB = mv²/R): R = (1/B)·√(2Vm/e).

Resposta: questão anulada pela UPE no gabarito definitivo. Tomando V = 20 kV, o raio é de cerca de 95 cm, o valor da alternativa E (o preliminar indicava a C, 48 cm).