UNIFESP 2023 — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia cinética da bola na saída (A) e na chegada (C); depois, quanto ela sobe acima de A e quanto tempo fica no ar.

Item (a) — energia cinética em A: é só usar a velocidade do chute.

$$E_A = \frac{m\,v_0^2}{2} = \frac{0{,}4 \times 20^2}{2}$$

$$E_A = 80\ \text{J}$$

Item (a) — energia cinética em C: sem resistência do ar, só o peso realiza trabalho, e a energia mecânica se conserva. Tomando o nível de C como referência, a bola em A tem, além dos 80 J de energia cinética, energia potencial $mgh$ com h = 15 m. Em C a energia potencial é zero, então tudo isso virou energia cinética:

$$E_C = E_A + m\,g\,h_A$$

$$E_C = 80 + 0{,}4 \times 10 \times 15$$

$$E_C = 80 + 60 = 140\ \text{J}$$

Item (b) — a altura h: separe o movimento em duas direções. Na horizontal, a velocidade é constante; na vertical, o movimento é uniformemente variado, com aceleração g para baixo. A componente vertical inicial é:

$$v_{0y} = v_0\,\text{sen}\,30^\circ = 20 \times 0{,}5 = 10\ \text{m/s}$$

No ponto mais alto, B, a componente vertical da velocidade é zero. Pela equação de Torricelli na vertical:

$$0 = v_{0y}^2 - 2\,g\,h$$

$$h = \frac{10^2}{2 \times 10} = 5\ \text{m}$$

Item (b) — o tempo de A até C: ponha o eixo y vertical, para cima, com origem no nível de C. Então a bola parte de y = 15 m, com $v_{0y} = 10$ m/s, e chega a C quando y = 0:

$$y = 15 + 10\,t - 5\,t^2$$

$$0 = 15 + 10\,t - 5\,t^2$$

$$t^2 - 2\,t - 3 = 0$$

$$(t - 3)(t + 1) = 0 \;\Rightarrow\; t = 3\ \text{s}$$

A raiz t = −1 s não tem sentido físico (é antes do chute).

Conferindo por partes: a subida até B dura $t_1 = v_{0y}/g = 1$ s. De B, a bola cai 5 + 15 = 20 m partindo com velocidade vertical nula: $20 = 5\,t_2^2$, então $t_2 = 2$ s. Total: 1 + 2 = 3 s.

Conferindo h pela energia: em B só sobra a componente horizontal, $v_x = 20 \cos 30^\circ = 10\sqrt{3}$ m/s, e a energia cinética lá é $0{,}2 \times 300 = 60$ J. Os 80 − 60 = 20 J que faltam viraram energia potencial: $0{,}4 \times 10 \times h = 20$, h = 5 m.

⚠️ A armadilha: calcular o tempo de voo como “o dobro do tempo de subida”, 2 s. Isso é o tempo para a bola voltar ao nível de A; como C está 15 m abaixo, ela ainda cai mais 1 s. Outro erro comum é dizer que a energia cinética em C é a mesma de A, esquecendo os 15 m de queda.

A ideia em uma frase: no lançamento oblíquo, a vertical manda no tempo e na altura; e, sem atrito com o ar, a energia que a bola ganha na descida é exatamente mgh.

Resposta: (a) 80 J logo após o chute e 140 J imediatamente antes de tocar o solo em C; (b) h = 5 m e o tempo de A até C é 3 s.