UNIFESP 2020 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) o desenho das forças na coroa mergulhada e a massa dela; (b) a densidade da coroa, achada pelo empuxo.

Item (a) — as forças na coroa dentro da água. São três:

• o peso $\vec{P}$, vertical para baixo, aplicado pela Terra;

• a tração $\vec{T}$ do fio, vertical para cima: é a força que o dinamômetro marca, 7,6 N;

• o empuxo $\vec{E}$, vertical para cima, aplicado pela água.

O desenho que vale a pontuação: uma seta para baixo, P, e duas setas para cima, T e E, todas saindo da coroa.

A massa: no ar, a coroa está em equilíbrio só com o peso e a tração (o empuxo do ar é desprezível). Então o dinamômetro mostra o próprio peso, 8,0 N:

$$P = m\,g \;\Rightarrow\; 8{,}0 = m \cdot 10$$

$$m = 0{,}8\ \text{kg}$$

Item (b) — Passo 1, o empuxo. Na água, a coroa continua em equilíbrio, agora com três forças. As que sobem equilibram a que desce:

$$T + E = P$$

$$E = 8{,}0 - 7{,}6 = 0{,}4\ \text{N}$$

É por isso que o dinamômetro marca menos na água: a água “segura” 0,4 N do peso.

Passo 2 — o volume da coroa. Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo é o peso da água deslocada. Como a coroa está totalmente mergulhada, o volume de água deslocada é o volume da coroa:

$$E = d_{\text{água}}\,V\,g$$

$$0{,}4 = 10^3 \cdot V \cdot 10$$

$$V = 4 \times 10^{-5}\ \text{m}^3$$

Passo 3 — a densidade:

$$d = \frac{m}{V} = \frac{0{,}8}{4 \times 10^{-5}}$$

$$d = 2 \times 10^{4}\ \text{kg/m}^3$$

Atalho: como o volume é o mesmo, a razão entre o peso da coroa e o empuxo é a razão entre as densidades: $P/E = 8{,}0/0{,}4 = 20$. A coroa é 20 vezes mais densa que a água: $20 \times 10^3 = 2 \times 10^4$ kg/m³. É o mesmo truque que a lenda atribui a Arquimedes para testar a coroa do rei.

⚠️ A armadilha: usar a leitura da água, 7,6 N, como se fosse o peso (o “peso aparente”), o que daria massa de 0,76 kg e densidade errada. O peso de verdade é a leitura no ar; a diferença entre as duas leituras é o empuxo.

A ideia em uma frase: a perda de “peso” na água é o empuxo, e o empuxo, igual a d·V·g da água, entrega o volume da coroa.

Resposta: (a) forças na coroa: peso P = 8,0 N para baixo, tração T = 7,6 N para cima e empuxo E = 0,4 N para cima; massa m = 0,8 kg; (b) $d = 2 \times 10^{4}$ kg/m³.