UNIFESP 2020 — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) quanto tempo o foguete levou de A até B, usando o giro do radar, e daí a velocidade média; (b) a velocidade da parte de cima do foguete logo depois de soltar o primeiro estágio.

Item (a) — o radar é o relógio. Quando o foguete está em A, no solo, o radar aponta na horizontal: o ângulo é zero. Em B, o ângulo é 1 rad. Então, no trecho AB, o radar girou $\Delta\alpha = 1$ rad, com velocidade angular média de 0,02 rad/s:

$$\omega_{\text{méd}} = \frac{\Delta\alpha}{\Delta t}$$

$$\Delta t = \frac{1}{0{,}02} = 50\ \text{s}$$

Nesses 50 s, o foguete subiu os 8 500 m de A até B. A velocidade escalar média é distância sobre tempo:

$$v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{8500}{50}$$

$$v_m = 170\ \text{m/s}$$

Item (b) — conservação da quantidade de movimento. O desacoplamento é provocado por forças internas (uma parte empurra a outra, ação e reação). Ele dura um instante muito curto, e nesse instante o peso não tem tempo de mudar a quantidade de movimento do conjunto. Então a quantidade de movimento logo antes é igual à logo depois. A parte que sobe sem o primeiro estágio tem massa $M - \frac{M}{3} = \frac{2M}{3}$, e tudo aponta para cima:

$$Q_{\text{antes}} = Q_{\text{depois}}$$

$$M \cdot 4600 = \tfrac{M}{3} \cdot 3000 + \tfrac{2M}{3}\,v_c$$

Dividindo tudo por M (a massa se cancela):

$$4600 = 1000 + \tfrac{2}{3}\,v_c$$

$$\tfrac{2}{3}\,v_c = 3600$$

$$v_c = 5400\ \text{km/h}$$

O item pede em m/s. Para passar de km/h para m/s, divide-se por 3,6:

$$v_c = \frac{5400}{3{,}6} = 1500\ \text{m/s}$$

Conferindo: o primeiro estágio perdeu velocidade (de 4 600 para 3 000 km/h); pela conservação, a parte de cima tem de ganhar. E ganhou: de 4 600 para 5 400 km/h. Como ela tem o dobro da massa do estágio, ganha metade da velocidade que ele perdeu: 1 600/2 = 800 km/h.

⚠️ A armadilha: no item (a), fazer $v = \omega R = 0{,}02 \times 8500 = 170$ m/s. O número coincide, mas a ideia está errada: o foguete não anda em círculo em volta do radar, e o radar não está a 8 500 m dele. Só deu certo porque o ângulo varrido foi exatamente 1 rad. O caminho certo é achar o tempo pelo radar e a distância pela cota. No item (b), o tropeço comum é parar em 5 400, que está em km/h, quando o item pede m/s.

A ideia em uma frase: o radar dá o tempo (ângulo dividido pela velocidade angular), e numa separação por forças internas a quantidade de movimento do conjunto se conserva.

Resposta: (a) $v_m = 170$ m/s; (b) $v_c = 5\,400$ km/h $= 1\,500$ m/s.