UNIFESP 2018 — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a distância horizontal, antes do canhão, em que a bomba deve ser solta; (b) a menor velocidade de disparo do projétil para que ele alcance o avião.

Item (a) — a bomba sai com a velocidade do avião. Ao ser abandonada, a bomba não “para”: ela tem, na horizontal, os mesmos 100 m/s do avião. Sem resistência do ar, o movimento se separa em dois: na horizontal, uniforme; na vertical, queda livre a partir do repouso.

Passo 1 — o tempo de queda, que depende só da altura:

$$h = \frac{g\,t^2}{2} \;\Rightarrow\; 500 = 5\,t^2$$

$$t^2 = 100 \;\Rightarrow\; t = 10\ \text{s}$$

Passo 2 — o avanço horizontal nesse tempo:

$$D = v_x\,t = 100 \times 10$$

$$D = 1\,000\ \text{m}$$

A bomba deve ser solta 1 000 m antes da vertical do canhão. Ela cai sempre exatamente embaixo do avião.

Item (b) — a componente horizontal do projétil. No disparo, o avião está bem em cima do canhão. Para o projétil encontrar o avião, os dois têm de estar na mesma posição horizontal no mesmo instante. O avião anda 100 m/s; o projétil, sem resistência do ar, mantém a componente horizontal constante. Logo, ela tem de ser igual à do avião:

$$v_{0x} = 100\ \text{m/s}$$

Assim, o projétil fica o tempo todo exatamente embaixo do avião, e só falta subir até ele.

Passo 2 — a componente vertical mínima. O projétil precisa chegar a 500 m de altura. O menor $v_{0y}$ é o que o leva até lá com velocidade vertical zerando bem nessa altura (o encontro acontece no ponto mais alto da trajetória). Por Torricelli na vertical:

$$0 = v_{0y}^2 - 2\,g\,h$$

$$v_{0y}^2 = 2 \times 10 \times 500 = 10^4$$

$$v_{0y} = 100\ \text{m/s}$$

Passo 3 — compor as duas componentes (elas são perpendiculares):

$$v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}$$

$$v_0 = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2}$$

$$v_0 \approx 141\ \text{m/s}$$

Como as duas componentes são iguais, o disparo é feito a 45° com a horizontal.

Conferindo: o projétil leva $v_{0y}/g = 10$ s para subir, e nesse tempo o avião e o projétil andam, os dois, 1 000 m na horizontal. Encontro no alto, a 500 m.

⚠️ A armadilha: no item (a), imaginar que a bomba cai em linha reta vertical (aí ela seria solta sobre o canhão) ou usar os 100 m/s do avião como velocidade inicial da queda; o critério oficial zera essas resoluções. No item (b), responder só 100 m/s: isso é uma componente, não a velocidade do projétil.

A ideia em uma frase: sem resistência do ar, horizontal e vertical são independentes: na horizontal tudo acompanha o avião, e a vertical decide o tempo de queda ou a altura alcançada.

Resposta: (a) 1 000 m antes da vertical do canhão (queda de 10 s); (b) $v_0 = 100\sqrt{2} \approx 141$ m/s (componentes de 100 m/s na horizontal e na vertical).