UNICAMP 2020 (2ª fase) — questão 12 de Física

DiscursivaHidrostática — densímetro e empuxo; Energia — energia mecânica fornecida pela bomba de combustível2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 12 de Física do UNICAMP 2020 (2ª fase)

Enunciado em texto

Um densímetro de posto de combustível, usado para analisar o etanol, consiste de um tubo de vidro que fica parcialmente submerso no etanol. O peso do tubo é fixo, de forma que o volume do tubo que fica submerso depende da densidade do etanol. Uma escala na parte superior do tubo indica o valor da densidade medida.

a) O etanol combustível é hidratado, ou seja, contém uma porcentagem de água. A figura ao lado ilustra duas medidas de densidade de etanol. A primeira é de uma amostra de etanol hidratado dentro da especificação, cujo valor é ρ1=0,810\rho_1 = 0{,}810 g/cm³. Nessa medida, o volume submerso do densímetro é V2V_2. A segunda medida, realizada com o mesmo densímetro, é de uma amostra fora da especificação e, nesse caso, o volume submerso do densímetro é V2V_2. A diferença dos volumes submersos é de 10% de V1V_1, ou seja, ΔV=V1−V2=0,1 V1\Delta V = V_1 - V_2 = 0{,}1\,V_1. Qual é a densidade ρ2\rho_2 da segunda amostra?

(Figura: duas provetas com etanol e o mesmo densímetro flutuando em cada uma. À esquerda, “etanol dentro da especificação, ρ1=0,810\rho_1 = 0{,}810 g/cm³”: o densímetro afunda mais, e a parte submersa é indicada por V1V_1. À direita, “etanol fora da especificação”: o densímetro fica mais alto, a parte submersa é indicada por V2V_2, e o trecho a mais que ficou fora do líquido, entre os dois níveis (linha tracejada), é indicado por ΔV\Delta V.)

b) Num posto de combustível, a gasolina é bombeada do reservatório subterrâneo até o tanque do veículo, numa altura h=3,0h = 3{,}0 m acima do nível superior do reservatório. A gasolina, que é sempre retirada da parte superior do reservatório, encontra-se inicialmente parada e é despejada no tanque do veículo a uma velocidade v=0,8v = 0{,}8 m/s. Qual é o aumento da energia mecânica da gasolina proporcionado pela bomba ao encher um tanque de volume V=40V = 40 litros?

Dado: ρgasolina=0,75\rho_{\text{gasolina}} = 0{,}75 g/cm³.

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2020, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a densidade da amostra fora da especificação, comparando o quanto o mesmo densímetro afunda nas duas; (b) quanta energia mecânica a bomba entrega a 40 litros de gasolina.

Atenção: o enunciado impresso diz que, na primeira medida, o volume submerso é “V2V_2”; é erro de digitação. Pela figura e pela relação ΔV=V1−V2\Delta V = V_1 - V_2, na primeira medida o volume submerso é V1V_1, e é assim que a banca resolve.

Item (a) — o empuxo é o mesmo nas duas medidas. O densímetro flutua em equilíbrio, então o empuxo equilibra o peso do tubo, que é fixo. Logo o empuxo é igual nos dois casos:

ρ1 g V1=ρ2 g V2\rho_1\,g\,V_1 = \rho_2\,g\,V_2

Como V2=V1−0,1 V1=0,9 V1V_2 = V_1 - 0{,}1\,V_1 = 0{,}9\,V_1:

ρ1 V1=0,9 ρ2 V1\rho_1\,V_1 = 0{,}9\,\rho_2\,V_1

ρ2=ρ10,9=0,8100,9\rho_2 = \frac{\rho_1}{0{,}9} = \frac{0{,}810}{0{,}9}

ρ2=0,900 g/cm3\rho_2 = 0{,}900\ \text{g/cm}^3

Faz sentido: no líquido mais denso o densímetro afunda menos (a amostra tem água demais, e a água é mais densa que o etanol).

Item (b) — a massa de gasolina. Com 0,750{,}75 g/cm³ =750= 750 kg/m³ e 4040 L =40×10−3= 40 \times 10^{-3} m³:

m=750×40×10−3=30 kgm = 750 \times 40 \times 10^{-3} = 30\ \text{kg}

Item (b) — o aumento da energia mecânica. A gasolina sai parada do nível do reservatório e chega 3,0 m acima com 0,8 m/s. Ela ganha energia potencial gravitacional e energia cinética. Usamos g=10g = 10 m/s², valor adotado pela banca:

ΔE=mgh+mv22\Delta E = mgh + \frac{mv^2}{2}

mgh=30×10×3,0=900 Jmgh = 30 \times 10 \times 3{,}0 = 900\ \text{J}

mv22=30×0,822=9,6 J\frac{mv^2}{2} = \frac{30 \times 0{,}8^2}{2} = 9{,}6\ \text{J}

ΔE≈910 J\Delta E \approx 910\ \text{J}

Atenção: a resposta esperada da banca escreve a parcela cinética como 9,4 J e o total como 909,4 J; é um deslize de conta (15×0,64=9,615 \times 0{,}64 = 9{,}6). O valor correto é 909,6 J, ou cerca de 910 J.

⚠️ A armadilha: no item (a), achar que mais volume submerso significa líquido mais denso. É o contrário: o empuxo tem que ser o mesmo, então, se o volume submerso cai 10%, a densidade tem que subir na proporção 1/0,91/0{,}9. Fazer 0,810×0,9=0,7290{,}810 \times 0{,}9 = 0{,}729 g/cm³ ou 0,810×1,1=0,8910{,}810 \times 1{,}1 = 0{,}891 g/cm³ está errado. No item (b), esquecer a energia cinética (pequena, mas pedida).

A ideia em uma frase: densímetro flutuando tem empuxo igual ao peso fixo, então densidade vezes volume submerso é constante; a bomba dá à gasolina energia potencial e cinética.

Resposta: (a) ρ2=0,900\rho_2 = 0{,}900 g/cm³; (b) ΔE=900+9,6≈910\Delta E = 900 + 9{,}6 \approx 910 J.

Vídeo em breve

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