UNICAMP 2020 (2ª fase) — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a densidade da poeira no caminho da Terra, usando o volume do “cilindro” que ela varre em 20 min; (b) a força média que a Terra faz para arrastar essa poeira.

Item (a) — quanto a Terra anda em 20 min. O movimento é uniforme, com $v = 30$ km/s $= 3{,}0 \times 10^{4}$ m/s, durante $\Delta t = 20 \times 60 = 1200$ s:

$$d = v\,\Delta t = 3{,}0 \times 10^{4} \times 1200$$

$$d = 3{,}6 \times 10^{7}\ \text{m}$$

Item (a) — o volume varrido. É um cilindro de comprimento $d$ e área de seção reta $A$:

$$V = A\,d = 1{,}25 \times 10^{14} \times 3{,}6 \times 10^{7}$$

$$V = 4{,}5 \times 10^{21}\ \text{m}^3$$

Item (a) — a densidade. Nesse volume estavam os 1000 kg de poeira que a Terra recolheu:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{1000}{4{,}5 \times 10^{21}}$$

$$\rho \approx 2{,}2 \times 10^{-19}\ \text{kg/m}^3$$

Item (b) — teorema do impulso. A poeira estava parada e passa a andar a 30 km/s junto com a Terra. O impulso que a Terra aplica nela é igual à variação da sua quantidade de movimento:

$$J = \Delta Q = m\,v_{\text{Terra}} - 0$$

$$J = 1000 \times 3{,}0 \times 10^{4}$$

$$J = 3{,}0 \times 10^{7}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$$

Item (b) — a força média. O impulso é a força média vezes o tempo em que ela age:

$$F_{\text{m}} = \frac{J}{\Delta t} = \frac{3{,}0 \times 10^{7}}{1200}$$

$$F_{\text{m}} = 2{,}5 \times 10^{4}\ \text{N}$$

⚠️ A armadilha: esquecer as conversões. Com 30 km/s e 20 min sem passar para m/s e segundos, os números saem errados por fatores de 1000 e de 60. No item (b), dividir por 20 (minutos) daria $1{,}5 \times 10^{6}$ N, sessenta vezes mais que o certo.

A ideia em uma frase: a poeira ocupava o cilindro que a Terra varre; para levá-la do repouso a 30 km/s, a Terra aplica um impulso $mv$, e a força média é esse impulso dividido pelo tempo.

Resposta: (a) $\rho \approx 2{,}2 \times 10^{-19}$ kg/m³; (b) $F_{\text{m}} = 2{,}5 \times 10^{4}$ N.