UNICAMP 2019 (2ª fase) — questão 9 de Física

DiscursivaTermodinâmica — ciclo de um gás ideal: temperatura e trabalho pela área no gráfico P × V2ª fase · Física (discursiva)

Enunciado da questão 9 de Física do UNICAMP 2019 (2ª fase) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Nas proximidades do Sol, a Sonda Solar Parker estará exposta a altas intensidades de radiação e a altas temperaturas. Diversos dispositivos serão usados para evitar o aquecimento excessivo dos equipamentos a bordo da sonda, entre eles um sistema de refrigeração. Um refrigerador opera através da execução de ciclos termodinâmicos.

a) Considere o ciclo termodinâmico representado abaixo para um gás ideal, em que $V_2 = 1{,}5\,V_1$ e $T_1 = 200$ K. Calcule a temperatura $T_3$ .

b) A partir do gráfico, estime o módulo do trabalho realizado sobre o gás em um ciclo, em termos apenas de $V_1$ , $V_2$ , $P_1$ e $P_4$ .

(Gráfico P × V com grade quadriculada; entre $V_1$ e $V_2$ há 5 divisões horizontais e entre $P_1$ e $P_4$ há 5 divisões verticais. O ciclo percorre 1 → 2 → 3 → 4 → 1. De 1 ( $V_1$ , $P_1$ ) a 2 ( $V_2$ , $P_1$ ): segmento horizontal para a direita. De 2 a 3: curva “isoterma” subindo para a esquerda; o ponto 3 fica 1 divisão à direita de $V_1$ e 3 divisões acima de $P_1$ . De 3 a 4: curva subindo para a esquerda até o ponto 4 ( $P_4$ ), que fica 5 divisões à esquerda de $V_1$ . De 4 a 1: curva descendo para a direita, primeiro íngreme e depois quase horizontal, até o ponto 1.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2019, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a temperatura no estado 3; (b) uma estimativa da área do ciclo, que é o módulo do trabalho por ciclo.

Item (a) — de 1 para 2 (pressão constante). O trecho 1 → 2 é horizontal: $P_1 = P_2$ . Pela lei dos gases ideais, $PV/T$ é constante; com $P$ fixa, $V/T$ é constante:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \Rightarrow T_2 = \frac{V_2}{V_1}\,T_1$

$T_2 = 1{,}5 \times 200 = 300\ \text{K}$

Item (a) — de 2 para 3 (isoterma). Na isoterma a temperatura não muda:

$T_3 = T_2 = 300\ \text{K}$

Item (b) — o trabalho é a área do ciclo. Num ciclo, o módulo do trabalho total é a área delimitada pela curva fechada no gráfico P × V. Aqui o ciclo é percorrido no sentido anti-horário (vai para a direita embaixo e volta para a esquerda em cima), então o trabalho total é feito sobre o gás, como num refrigerador.

Item (b) — o tamanho de um retângulo da grade. Entre $V_1$ e $V_2$ há 5 divisões e entre $P_1$ e $P_4$ há 5 divisões. A área de um retângulo é:

$A_{\square} = \frac{(P_4 - P_1)}{5} \cdot \frac{(V_2 - V_1)}{5}$

$A_{\square} = \frac{(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)}{25}$

Item (b) — contando os retângulos. Contando os retângulos inteiros dentro do ciclo e juntando os pedaços cortados pelas curvas, chega-se a cerca de 19 retângulos (é uma estimativa: contagens de 19 a 20 são razoáveis; a banca usou 19). Então:

$|W| \approx 19\,A_{\square}$

$|W| \approx \frac{19}{25}(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)$

$|W| \approx 0{,}76\,(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)$

⚠️ A armadilha: no item (a), procurar $T_3$ pela lei geral com $P_3$ e $V_3$ lidos “a olho”, sem perceber que 2 → 3 é uma isoterma: basta achar $T_2$ . No item (b), calcular a área do retângulo inteiro $(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)$ ou tomar o trabalho de um só trecho: o trabalho do ciclo é a área dentro da curva fechada.

A ideia em uma frase: isobárica: V/T constante; isoterma: T constante; trabalho num ciclo é a área dentro dele, e o sentido anti-horário indica trabalho feito sobre o gás.

Resposta: (a) $T_3 = T_2 = 1{,}5\,T_1 = 300$ K; (b) $|W| \approx 19 \times \dfrac{(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)}{25} \approx 0{,}76\,(P_4 - P_1)(V_2 - V_1)$ .

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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