UNICAMP 2019 (2ª fase) — questão 10 de Física

DiscursivaOndas — ondas estacionárias na levitação acústica; Dinâmica — força restauradora tipo mola2ª fase · Física (discursiva)
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 10 de Física do UNICAMP 2019 (2ª fase)

Enunciado em texto

A levitação acústica consiste no emprego de ondas acústicas para exercer força sobre objetos e com isso mantê-los suspensos no ar, como a formiga representada na figura A, ou movimentá-los de forma controlada. Uma das técnicas utilizadas baseia-se na formação de ondas acústicas estacionárias entre duas placas, como ilustra a figura B, que mostra a amplitude da pressão em função da posição vertical.

a) As frequências de ressonância acústica entre duas placas, ou num tubo fechado nas duas extremidades, são dadas por fn=nv2Lf_n = \dfrac{nv}{2L}, sendo LL a distância entre as placas, v=340v = 340 m/s a velocidade do som no ar, e nn um número inteiro positivo e não nulo que designa o modo. Qual é a frequência do modo ilustrado na figura B?

b) A força acústica aplicada numa pequena esfera aponta sempre na direção zz e no sentido do nó de pressão mais próximo. Nas proximidades de cada nó, a força acústica pode ser aproximada por Fac=−kΔzF_{ac} = -k\Delta z, sendo kk uma constante e Δz=z−znoˊ\Delta z = z - z_{\text{nó}}. Ou seja, a força aponta para cima (positiva) quando a esfera está abaixo do nó (Δz\Delta z negativo), e vice-versa. Se k=6,0×10−2k = 6{,}0 \times 10^{-2} N/m e uma esfera de massa m=1,5×10−6m = 1{,}5 \times 10^{-6} kg é solta a partir do repouso na posição de um nó, qual será a menor distância percorrida pela esfera até que ela volte a ficar instantaneamente em repouso? Despreze o atrito viscoso da esfera com o ar.

(Figura A: foto de uma formiga suspensa no ar entre duas peças metálicas cilíndricas, uma em cima e outra embaixo, ao lado de uma régua em centímetros, de 0 a 4 cm; a distância entre as faces das duas peças é de cerca de 3,4 cm. Figura B: esquema com uma placa embaixo e outra em cima e o eixo zz vertical. A amplitude da pressão (curva cheia e sua imagem tracejada) é máxima junto às duas placas e se anula em 3 pontos (nós) igualmente espaçados entre elas. Uma pequena esfera está um pouco abaixo do nó do meio, a uma distância Δz\Delta z dele.)

(Enunciado e figura: Vestibular Unicamp 2019, 2ª fase — Comvest/Unicamp.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à UNICAMP.

Resolução comentada

O que a questão pede: (a) a frequência do modo desenhado na figura B; (b) a distância que a esfera percorre, solta do nó, até parar de novo.

Item (a) — qual é o modo. Junto às placas a amplitude de pressão é máxima (ventres de pressão) e entre elas há 3 nós. Do ventre de baixo ao nó, um quarto de comprimento de onda; entre dois nós, meio comprimento de onda; do último nó à placa de cima, mais um quarto. No total, L=3λ/2L = 3\lambda/2: é o modo n=3n = 3.

Item (a) — a distância entre as placas. Pela régua da figura A, as faces das placas estão separadas por cerca de L=3,4L = 3{,}4 cm =3,4×10−2= 3{,}4 \times 10^{-2} m. Então:

f3=3v2L=3×3402×3,4×10−2f_3 = \frac{3v}{2L} = \frac{3 \times 340}{2 \times 3{,}4 \times 10^{-2}}

f3=1,5×104 Hz=15 kHzf_3 = 1{,}5 \times 10^{4}\ \text{Hz} = 15\ \text{kHz}

Como LL vem de uma leitura na foto, valores próximos (cerca de 15 a 16 kHz) indicam o mesmo raciocínio.

Item (b) — as forças. Na esfera atuam o peso (para baixo) e a força acústica, que se comporta como a força de uma mola presa no nó: Fac=−kΔzF_{ac} = -k\Delta z. Solta em repouso no nó, ela começa a cair; ao descer, a força acústica para cima cresce, freia a esfera e a faz parar num ponto mais baixo.

Item (b) — conservação de energia. Sem atrito, entre o nó (repouso) e o ponto mais baixo (repouso), a energia potencial gravitacional perdida vira energia potencial “elástica” da força acústica. Sendo dd a distância percorrida:

mgd=kd22⇒d=2mgkmgd = \frac{kd^2}{2} \Rightarrow d = \frac{2mg}{k}

d=2×1,5×10−6×106,0×10−2d = \frac{2 \times 1{,}5 \times 10^{-6} \times 10}{6{,}0 \times 10^{-2}}

d=5×10−4 m=0,5 mmd = 5 \times 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}5\ \text{mm}

A esfera oscila entre o nó e 0,5 mm abaixo dele, em torno da posição de equilíbrio, que fica a mg/k=0,25mg/k = 0{,}25 mm do nó.

⚠️ A armadilha: no item (b), responder mg/k=0,25mg/k = 0{,}25 mm. Essa é a posição de equilíbrio, onde a força resultante é zero, mas ali a esfera passa com velocidade máxima: ela só para de novo no dobro dessa distância. No item (a), contar 3 nós e usar n=2n = 2 ou n=4n = 4.

A ideia em uma frase: conte os nós para achar o modo; uma força do tipo −kΔz é uma mola, e a esfera solta do repouso desce o dobro da distância de equilíbrio.

Resposta: (a) modo n=3n = 3, L≈3,4L \approx 3{,}4 cm e f3=3v/(2L)≈1,5×104f_3 = 3v/(2L) \approx 1{,}5 \times 10^4 Hz (15 kHz); (b) d=2mg/k=5×10−4d = 2mg/k = 5 \times 10^{-4} m (0,5 mm).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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