UNICAMP 2018 — questão 10 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: em que proporção o ponto O divide a alavanca para que os dois triângulos fiquem equilibrados.

Passo 1 — condição de equilíbrio. A alavanca não gira se os momentos (torques) dos dois pesos em relação a O se anulam. Cada triângulo pende de um fio, então o seu peso age na vertical do ponto onde o fio está preso: o braço do triângulo equilátero é e, e o do isósceles é i.

$$P_{\text{eq}}\,e = P_{\text{iso}}\,i \;\Rightarrow\; \frac{i}{e} = \frac{P_{\text{eq}}}{P_{\text{iso}}}$$

Passo 2 — peso proporcional à área. Mesmo material e mesma espessura: o peso é proporcional à área. Então basta a razão das áreas.

Passo 3 — as áreas. Chame de L o lado do equilátero, que é também a hipotenusa do isósceles.

• Equilátero de lado L:

$$A_{\text{eq}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,L^2$$

• Retângulo isósceles de hipotenusa L: os catetos são iguais, $c^2 + c^2 = L^2$, então $c^2 = L^2/2$. A área é metade do produto dos catetos:

$$A_{\text{iso}} = \frac{c^2}{2} = \frac{L^2}{4}$$

Passo 4 — a razão:

$$\frac{i}{e} = \frac{A_{\text{eq}}}{A_{\text{iso}}} = \frac{\sqrt{3}\,L^2/4}{L^2/4} = \sqrt{3}$$

Conferindo por outro caminho: a área do isósceles também é base vezes altura sobre dois, tomando a hipotenusa como base. A altura relativa à hipotenusa vai do ângulo reto até o meio dela e vale L/2. Então $A_{\text{iso}} = L \cdot (L/2)/2 = L^2/4$, igual ao Passo 3. E o resultado bate com a figura: o triângulo mais pesado (o equilátero) fica mais perto do apoio, e de fato e é menor que i.

⚠️ A armadilha: inverter a regra da alavanca e achar que o corpo mais pesado fica com o braço maior. Isso dá $i/e = A_{\text{iso}}/A_{\text{eq}} = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$, a alternativa B. Na gangorra, quem pesa mais senta mais perto do apoio.

A ideia em uma frase: na alavanca em equilíbrio, os braços ficam na razão inversa dos pesos; aqui os pesos estão na razão das áreas, √3 L²/4 para L²/4, ou seja, √3.

Resposta: alternativa A ($\sqrt{3}$).