UNEMAT 2012 (2º semestre) — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o período de um satélite em órbita circular a 44 000 km de altitude.

Passo 1 — o raio da órbita. O raio é medido a partir do centro da Terra: raio da Terra mais altitude.

$$r = 6\,000 + 44\,000 = 50\,000\ \text{km}$$

$$r = 5{,}0 \times 10^{7}\ \text{m}$$

Passo 2 — o período. A gravidade faz o papel de resultante centrípeta:

$$\frac{G M m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M}}$$

Com os números ($GM = 6{,}67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \approx 4{,}0 \times 10^{14}$ m³/s²):

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}25 \times 10^{23}}{4{,}0 \times 10^{14}}}$$

$$T \approx 2\pi \times 1{,}77 \times 10^{4}\ \text{s}$$

$$T \approx 1{,}11 \times 10^{5}\ \text{s} \approx 31\ \text{h}$$

O período passa de 24 horas. (A massa do satélite não entra: ela se cancela, como na queda livre.)

Conferindo pelo satélite geoestacionário: o raio da órbita com período de 24 h é, com esses mesmos dados,

$$r_{\text{geo}} = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}} \approx 4{,}2 \times 10^{7}\ \text{m}$$

ou seja, cerca de 36 000 km de altitude. A 44 000 km o satélite está mais alto, e pela 3ª lei de Kepler ($T^2 \propto r^3$) quem está mais longe tem período maior: mais de 24 h.

⚠️ A armadilha: achar que todo satélite “parado sobre o Equador” é geoestacionário (alternativas B e E). Para ficar parado em relação ao solo, ele precisa ter período de 24 h, e isso só acontece numa altitude específica (≈ 36 000 km). Outra: usar a altitude como raio da órbita, o que dá 2π·√((4,4·10⁷)³/4·10¹⁴) ≈ 25 h, que também passa de 24 h, mas por sorte.

A ideia em uma frase: pela 3ª lei de Kepler, órbita mais alta que a geoestacionária tem período maior que 24 h.

Resposta: alternativa A (superior a 24 horas, cerca de 31 h).