UFU 2010-2 — questão 20 de Física

Gabarito BEletrostática — equilíbrio de uma carga sob força elétrica e pesoProcesso Seletivo 2010-2 · 1ª fase · Prova Objetiva · Tipo 1
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 20 de Física do UFU 2010-2

Enunciado em texto

Duas cargas +q estão fixas sobre uma barra isolante e distam entre si uma distância 2d. Uma outra barra isolante é fixada perpendicularmente à primeira no ponto médio entre essas duas cargas. O sistema é colocado de modo que esta última haste fica apontada para cima. Uma terceira pequena esfera de massa m e carga +3q furada é atravessada pela haste vertical de maneira a poder deslizar sem atrito ao longo desta, como mostra a figura abaixo. A distância de equilíbrio da massa m ao longo do eixo vertical é z.

Com base nessas informações, o valor da massa m em questão pode ser escrito em função de d, z, g e k, onde g é a aceleração gravitacional e k a constante eletrostática.

A expressão para a massa m será dada por:

[Figura: uma barra horizontal com duas cargas (bolinhas pretas), cada uma a uma distância d do ponto médio. Desse ponto médio sobe uma haste vertical; nela, a esfera de massa m está a uma altura z acima da barra horizontal.]

A) m=kq2z(d2+z2)3/2m = \dfrac{kq^2 z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}

B) m=6kq2zg(d2+z2)3/2m = \dfrac{6kq^2 z}{g(d^2 + z^2)^{3/2}}

C) m=6kq2zg(d2+z2)2m = \dfrac{6kq^2 z}{g(d^2 + z^2)^2}

D) m=6kq2zg(d2+z2)3m = \dfrac{6kq^2 z}{g(d^2 + z^2)^3}

(Enunciado e figura: Processo Seletivo UFU 2010-2, 1ª fase — Universidade Federal de Uberlândia.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Uberlândia (UFU) e à sua Diretoria de Processos Seletivos (DIRPS/UFU).

Resolução comentada

O que a questão pede: a massa mm que fica em equilíbrio na altura zz, com a repulsão das duas cargas +q+q segurando o peso.

Passo 1 — a força de cada carga. Cada carga +q+q está a uma distância rr da esfera (+3q+3q), dada por Pitágoras:

r2=d2+z2r^2 = d^2 + z^2

Pela lei de Coulomb, cada uma repele a esfera com força de módulo:

F=k⋅q⋅3qd2+z2=3kq2d2+z2F = \frac{k \cdot q \cdot 3q}{d^2 + z^2} = \frac{3kq^2}{d^2 + z^2}

Passo 2 — só a componente vertical conta. As duas forças são simétricas: as componentes horizontais se cancelam (e, de qualquer forma, a haste segura a esfera na horizontal). A componente vertical de cada uma é Fcos⁡θF\cos\theta, com θ\theta o ângulo entre a força e a vertical:

cos⁡θ=zr=zd2+z2\cos\theta = \frac{z}{r} = \frac{z}{\sqrt{d^2 + z^2}}

Somando as duas componentes verticais:

Fy=2⋅3kq2d2+z2⋅zd2+z2F_y = 2 \cdot \frac{3kq^2}{d^2 + z^2} \cdot \frac{z}{\sqrt{d^2 + z^2}}

Fy=6kq2z(d2+z2)3/2F_y = \frac{6kq^2 z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}

Passo 3 — equilíbrio. Sem atrito na haste, na vertical só atuam a força elétrica resultante (para cima) e o peso (para baixo). Igualando Fy=mgF_y = mg:

m=6kq2zg (d2+z2)3/2m = \frac{6kq^2 z}{g\,(d^2 + z^2)^{3/2}}

Conferindo pelas unidades: kq2kq^2 dividido por comprimento ao quadrado é força. Em B, z/(d2+z2)3/2z/(d^2 + z^2)^{3/2} tem unidade de 1/comprimento², então o numerador vira força e, dividindo por gg, massa. Em C e D, o expoente maior deixa comprimento sobrando no denominador: não dá massa. Em A, falta dividir por gg: o resultado seria força, não massa. Outro teste: com d=0d = 0, as duas cargas viram uma só, 2q2q, logo abaixo da esfera, e B dá mg=k⋅2q⋅3q/z2mg = k \cdot 2q \cdot 3q/z^2, exatamente Coulomb.

⚠️ A armadilha: errar a projeção na vertical. Quem escreve o cosseno como z/(d2+z2)z/(d^2 + z^2), esquecendo a raiz quadrada da hipotenusa, chega a (d2+z2)2(d^2 + z^2)^2 no denominador: a alternativa C. E quem esquece o fator 6 (são duas cargas, e a esfera tem carga 3q3q) e a divisão por gg fica com a expressão da alternativa A, que nem tem unidade de massa.

A ideia em uma frase: a repulsão das duas cargas tem componentes horizontais que se cancelam; a soma das verticais equilibra o peso.

Resposta: alternativa B (m=6kq2zg(d2+z2)3/2m = \frac{6kq^2 z}{g(d^2 + z^2)^{3/2}}).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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