UFSC 2018 — questão 22 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: achar onde a roldana para (o ponto de equilíbrio) e quanto a corda é tracionada nesse ponto.

Passo 1 — a geometria do equilíbrio. Numa roldana ideal a tração é a mesma dos dois lados. No equilíbrio, as componentes horizontais das trações se anulam, então os dois trechos fazem o mesmo ângulo α com a horizontal. Somando as projeções horizontais dos dois trechos (comprimentos $L_1 + L_2 = 15$ m):

$$15\cos\alpha = 12$$

$$\cos\alpha = 0{,}8 \Rightarrow \text{sen}\,\alpha = 0{,}6$$

Passo 2 — a tração. Na vertical, as duas metades da corda sustentam o peso:

$$2\,T\,\text{sen}\,\alpha = m g \Rightarrow T = \frac{m g}{1{,}2}$$

$$T_{\text{Tiago}} = \frac{600}{1{,}2} = 500\ \text{N}$$

$$T_{\text{João}} = \frac{620}{1{,}2} \approx 517\ \text{N}$$

Passo 3 — onde fica o ponto de equilíbrio. Sejam $x_1$ e $x_2$ as distâncias horizontais do ponto de equilíbrio às árvores da esquerda e da direita ($x_1 + x_2 = 12$). Com $\text{tg}\,\alpha = 0{,}75$, a roldana fica $0{,}75\,x_1$ abaixo da amarração da esquerda e $0{,}75\,x_2$ abaixo da da direita; como a da direita está 2,6 m mais baixa:

$$0{,}75\,(x_1 - x_2) = 2{,}6$$

$$x_1 - x_2 \approx 3{,}47\ \text{m}$$

$$x_1 \approx 7{,}73\ \text{m}$$

A margem oposta começa a 8 m da árvore da esquerda.

(01) Falsa. Com João a tração é cerca de 517 N, abaixo dos 630 N de ruptura.

(02) Falsa. Para o ponto de equilíbrio cair sobre a margem ($x_1 = 8$ m, $x_2 = 4$ m), o desnível teria de ser

$$\Delta h = 0{,}75\,(8 - 4) = 3{,}0\ \text{m}$$

e não 1,0 m. Repare que esse ponto não depende da massa: vale o mesmo para Pedro, Tiago ou João.

(04) Falsa. Segundo a banca, Tiago alcança a margem oposta. Pela geometria do passo 3, porém, o ponto de equilíbrio fica a cerca de 7,73 m da árvore da esquerda, uns 27 cm antes dos 8 m em que começa a margem direita (veja o Atenção abaixo).

(08) Verdadeira. Segundo a banca, a tensão vale 600 N, o peso de Tiago. Pelo passo 2, com sen α = 0,6, cada trecho da corda puxa com 500 N; os 600 N são a soma das componentes verticais dos dois trechos, que equilibra o peso.

Atenção: o gabarito oficial é coerente com cada trecho da corda formando 30° com a horizontal. Com sen 30° = 0,5, a tração seria $T = mg/(2 \cdot 0{,}5) = mg = 600$ N; e, com tg 30° ≈ 0,58, o passo 3 daria $x_1 - x_2 \approx 4{,}5$ m e $x_1 \approx 8{,}25$ m, além dos 8 m: Tiago alcançaria a margem. Mas a corda de 15 m num vão de 12 m impõe cos α = 12/15 = 0,8 (α ≈ 37°, e não 30°). Com os dados da prova, o julgamento correto seria (04) verdadeira e (08) falsa, com soma 20 (04 + 16). Publicamos o gabarito oficial.

(16) Verdadeira. Com a corda mais curta, $\cos\alpha = 12/L$ aumenta, o ângulo α diminui e sen α também. Como $T = mg/(2\,\text{sen}\,\alpha)$, a tração aumenta: corda mais esticada, tração maior.

⚠️ A armadilha: na (16), achar que a corda mais curta, “mais firme”, fica menos tensionada. É o contrário: quanto mais esticada, mais horizontais ficam os trechos, menor a componente vertical de cada um e maior a tração necessária para sustentar o mesmo peso.

A ideia em uma frase: na roldana em equilíbrio os dois trechos fazem o mesmo ângulo; daí sai a tração, $T = mg/(2\,\text{sen}\,\alpha)$, e o ponto onde a roldana para.

Resposta: soma 24 (08 + 16).