UFLA 2023 (PAS, 1ª etapa) — questão 10 de Física

Gabarito AGravitação — 3ª lei de Kepler e a massa de buracos negrosPAS · 1ª etapa · Grupo XXV, triênio 2024–2026 · prova de 03/12/2023

Enunciado da questão 10 de Física do UFLA 2023 (PAS, 1ª etapa) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Para calcular a massa de um objeto supermassivo como um buraco negro, é preciso identificar algum objeto que se movimente em órbita em torno desse buraco negro. A partir dessa órbita e de observações como o período (T) e o semieixo (a) maior de uma elipse, é possível encontrar a massa do buraco-negro por meio da lei de Kepler representada pela seguinte equação:

$T^2 = \left(4\,\frac{\pi^2}{GM}\right)a^3$

Em que G é a constante gravitacional e M é a massa do objeto supermassivo.

Sabendo que um astrônomo observa a diferença entre dois buracos negros e nota que o buraco negro A tem uma estrela que o orbita com período duas vezes maior do que um outro buraco negro B (mantendo o tamanho de semieixo maior), assinale a alternativa que contém a afirmação CORRETA em relação às massas dos buracos negros.

A) $\text{M}_\text{A} = 0{,}25\ \text{M}_\text{B}$

B) $\text{M}_\text{A} = 0{,}5\ \text{M}_\text{B}$

C) $\text{M}_\text{A} = 2\ \text{M}_\text{B}$

D) $\text{M}_\text{A} = 4\ \text{M}_\text{B}$

(Enunciado: PAS/UFLA 1ª etapa (Grupo XXV, triênio 2024–2026), prova de 03/12/2023 — Universidade Federal de Lavras.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Lavras (UFLA) e à sua Coordenadoria Geral de Processos Seletivos (COPESE/UFLA).

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar as massas de dois buracos negros cujas estrelas orbitam com o mesmo semieixo maior, mas com períodos em que um é o dobro do outro.

Passo 1 — isolar a massa. Da equação dada:

$M = \frac{4\pi^2\,a^3}{G\,T^2}$

Com o mesmo semieixo $a$ , tudo é constante menos $T$ : a massa é inversamente proporcional ao quadrado do período. Faz sentido: um buraco negro mais massivo puxa mais forte, e a estrela dá a volta mais depressa (período menor).

Passo 2 — a razão. Com $T_A = 2T_B$ :

$\frac{M_A}{M_B} = \frac{T_B^2}{T_A^2} = \frac{T_B^2}{4\,T_B^2}$

$\frac{M_A}{M_B} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Logo, $M_A = 0{,}25\,M_B$ .

Conferindo: se $M_A = M_B/4$ , a equação dá $T_A^2 = 4\pi^2 a^3/(G M_B/4) = 4\,T_B^2$ , ou seja, $T_A = 2T_B$ . Confere.

⚠️ A armadilha: achar que período maior significa massa maior e marcar C ou D, quando é o contrário (mais massa, órbita mais rápida). Outro erro é lembrar que a relação é inversa mas esquecer o quadrado: $M_A = 0{,}5\,M_B$ , alternativa B.

A ideia em uma frase: pela 3ª lei de Kepler, com o mesmo semieixo, $M \propto 1/T^2$ : período dobrado, massa dividida por quatro.

Resposta: alternativa A ( $M_A = 0{,}25\,M_B$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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