UFLA 2022 (PAS, 1ª etapa, junho) — questão 14 de Física

Gabarito BGravitação — raio de Schwarzschild do buraco negro da galáxia e da TerraPAS · 1ª etapa · Grupos XXII e XXIII · prova de 26/06/2022
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 14 de Física do UFLA 2022 (PAS, 1ª etapa, junho)

Enunciado em texto

Os “misteriosos” Buracos Negros foram “a estrela” do Nobel de Física de 2020. Eles podem ser descritos como estruturas do espaço-tempo em que a gravidade é tão grande que nada lhes escapa, nem mesmo a luz, e por isso levam esse nome. A superfície a partir da qual nada escapa é o chamado “Horizonte de Eventos”. O horizonte de eventos pode ser calculado a partir da seguinte equação:

rs=2GMc2∼3 MMSolr_s = \frac{2GM}{c^2} \sim 3\,\frac{M}{M_{Sol}}

em que rsr_s é o horizonte de eventos em quilômetros também conhecido como raio de Schwarzschild; GG é a constante gravitacional; MM é a massa do objeto; MSolM_{Sol} é a massa do Sol e c2c^2 é a velocidade da luz ao quadrado. Hoje, sabemos que os Buracos Negros podem ser estelares – resultado final da evolução de estrelas com massas maiores do que 10 massas solares, ou supermassivos, que têm massas que variam de 1 milhão a 10 bilhões de massas solares. A massa do Buraco Negro do centro de nossa galáxia é, de aproximadamente 4 milhões de vezes a massa do nosso Sol, e a Terra tem uma massa M=3×10−6MsolM = 3 \times 10^{-6}M_{sol}.

Então, o horizonte de eventos para formar um Buraco Negro no centro de nossa galáxia e da Terra é:

A) ∼12×106m,9m\sim 12 \times 10^{6}m, 9m

B) ∼12×109m,9mm\sim 12 \times 10^{9}m, 9mm

C) ∼12×106m,9×103m\sim 12 \times 10^{6}m, 9 \times 10^{3}m

D) ∼12×109km,9×10−3mm\sim 12 \times 10^{9}km, 9 \times 10^{-3}mm

(Enunciado: PAS/UFLA 1ª etapa (Grupos XXII e XXIII), prova de 26/06/2022 — Universidade Federal de Lavras.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Federal de Lavras (UFLA) e à sua Coordenadoria Geral de Processos Seletivos (COPESE/UFLA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o raio do horizonte de eventos do buraco negro do centro da galáxia e o raio que a Terra teria se fosse comprimida até virar um buraco negro, usando a fórmula aproximada rs≈3 M/MSolr_s \approx 3\,M/M_{Sol}, em quilômetros.

Passo 1 — de onde vem o “3”. Para o Sol, 2GMSol/c2≈2,952GM_{Sol}/c^2 \approx 2{,}95 km ≈ 3 km. Como rsr_s é proporcional à massa, basta multiplicar 3 km pelo número de massas solares.

Passo 2 — o buraco negro do centro da galáxia. Com M=4×106 MSolM = 4 \times 10^{6}\,M_{Sol}:

rs≈3×4×106=12×106 kmr_s \approx 3 \times 4 \times 10^{6} = 12 \times 10^{6}\ \text{km}

Passando para metros (1 km = 10310^{3} m):

rs≈12×109 mr_s \approx 12 \times 10^{9}\ \text{m}

Passo 3 — a Terra. Com M=3×10−6 MSolM = 3 \times 10^{-6}\,M_{Sol}:

rs≈3×3×10−6=9×10−6 kmr_s \approx 3 \times 3 \times 10^{-6} = 9 \times 10^{-6}\ \text{km}

rs≈9×10−3 m=9 mmr_s \approx 9 \times 10^{-3}\ \text{m} = 9\ \text{mm}

A Terra inteira precisaria caber numa bolinha de 9 mm de raio para virar um buraco negro.

Conferindo: a razão entre os dois raios tem de ser a razão entre as massas: (4×106)/(3×10−6)≈1,3×1012(4 \times 10^{6})/(3 \times 10^{-6}) \approx 1{,}3 \times 10^{12}; e (12×109 m)/(9×10−3 m)≈1,3×1012(12 \times 10^{9}\ \text{m})/(9 \times 10^{-3}\ \text{m}) \approx 1{,}3 \times 10^{12}. Bate.

⚠️ A armadilha: esquecer que a fórmula dá rsr_s em quilômetros e escrever o resultado direto em metros: 12 × 10⁶ m, como nas alternativas A e C. A D faz o erro contrário: escreve 12 × 10⁹ com a unidade km, mil vezes maior, e o raio da Terra como 9 × 10⁻³ mm, mil vezes menor.

A ideia em uma frase: rsr_s ≈ 3 km por massa solar: 4 milhões de massas solares dão 12 × 10⁶ km = 12 × 10⁹ m, e a Terra, com 3 × 10⁻⁶ massa solar, dá 9 × 10⁻⁶ km = 9 mm.

Resposta: alternativa B (∼12×109\sim 12 \times 10^{9} m e 9 mm).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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