UFJF 2023 (PISM, Módulo I) — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar um lançamento vertical (A) com um lançamento oblíquo (B) e decidir qual afirmação é verdadeira.

Passo 1 — decompor a velocidade de B. No lançamento oblíquo, o movimento horizontal é uniforme e o vertical é uniformemente variado, independentes um do outro. As componentes da velocidade inicial de B são:

$$v_{Bx} = 5\cos 30^{\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \text{m/s}$$

$$v_{By} = 5\,\operatorname{sen} 30^{\circ} = 2{,}5\ \text{m/s}$$

Repare: a componente vertical de B é igual à velocidade de A. Como os dois saem da mesma altura, no mesmo instante, com a mesma velocidade vertical e com a mesma aceleração $g$ para baixo, o movimento vertical dos dois é idêntico: sobem juntos, param de subir juntos e descem juntos. B só tem, além disso, o movimento horizontal.

Passo 2 — tempo de subida e altura máxima (iguais para os dois).

$$t_s = \frac{v_y}{g} = \frac{2{,}5}{10} = 0{,}25\ \text{s}$$

$$H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{6{,}25}{20} \approx 0{,}31\ \text{m}$$

Logo A e B chegam à altura máxima no mesmo instante (A é falsa) e à mesma altura (B é falsa).

Passo 3 — alcance de B. O tempo de voo (até voltar à altura de lançamento) é $2t_s = 0{,}5\ \text{s}$. Na horizontal, o movimento é uniforme:

$$R = v_{Bx}\,t_v = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot 0{,}5$$

$$R = \frac{5\sqrt{3}}{4}\ \text{m} \approx 2{,}2\ \text{m}$$

Não é $5\sqrt{3}/2$ m: C é falsa. Conferindo pela fórmula do alcance:

$$R = \frac{v_B^2\,\operatorname{sen} 60^{\circ}}{g} = \frac{25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10}$$

$$R = \frac{5\sqrt{3}}{4}\ \text{m}$$

Passo 4 — velocidade de B no ponto mais alto. Lá a componente vertical é zero e sobra só a horizontal, que não muda durante o voo:

$$v = v_{Bx} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\ \text{m/s} \approx 4{,}3\ \text{m/s}$$

Isso é exatamente a alternativa D.

Passo 5 — alternativa E. Em qualquer instante, A e B têm a mesma componente vertical $v_y$, e B tem ainda a horizontal. Então:

$$|\vec v_B| = \sqrt{v_y^2 + v_{Bx}^2} > |v_y| = |\vec v_A|$$

B é sempre mais rápido que A. E é falsa.

⚠️ A armadilha: a alternativa C. Quem calcula o tempo de voo com a velocidade inteira de B, $2v_B/g = 1\ \text{s}$, esquecendo que só a componente vertical conta, acha $R = \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot 1$, que é o valor da C. E quem pensa “B foi lançado mais rápido, então sobe mais” cai na B: a altura depende só da componente vertical.

A ideia em uma frase: altura máxima e tempo de subida dependem só da componente vertical da velocidade; no ponto mais alto, sobra apenas a componente horizontal, que fica constante o voo inteiro.

Resposta: alternativa D ($5\sqrt{3}/2\ \text{m/s}$ no ponto mais alto).