UEM 2018 (Verão) — questão 25 de Física

Gabarito 18Ondas — MHS como projeção do movimento circular uniforme: fase inicial, velocidade e forçaVestibular de Verão · Conhecimentos Gerais (somatória)

Enunciado da questão 25 de Física do UEM 2018 (Verão) — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Um ponto $P$ percorre uma circunferência de raio r, centrada na origem $O$ de um plano $xy$ , com velocidade angular constante e igual a $3\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . A projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$ define o ponto $Q$ . No instante inicial $t = 0\ \text{s}$ , $P$ se encontra no primeiro quadrante, e a posição de $Q$ é dada por $x = r\sqrt{3}/2$ . Sabendo-se que o ponto $P$ percorre a circunferência no sentido anti-horário, assinale o que for correto.

Dados: $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$ , $\cos 60^{\circ} = 1/2$ , $\cos 45^{\circ} = \sqrt{2}/2$ .

(01) $Q$ retorna à posição inicial no instante $t = (\sqrt{2}/2)\ \text{s}$ .

(02) No instante $t = (1/9)\ \text{s}$ , a velocidade de $Q$ (em módulo) é máxima.

(04) Visto que a velocidade angular é constante, o movimento de $Q$ é uniformemente acelerado.

(08) No instante $t = 0\ \text{s}$ , o ângulo entre o eixo $Ox$ e o segmento de reta $\overline{OP}$ é igual a $60^{\circ}$ .

(16) Se as trajetórias de $P$ e $Q$ correspondem às trajetórias de duas partículas idênticas (de mesma massa), então no instante $t = (5/18)\ \text{s}$ os módulos das forças resultantes que atuam em cada partícula terão o mesmo valor.

(Enunciado: Vestibular UEM 2018 (Verão) — UEM/CVU.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem à Universidade Estadual de Maringá (UEM), Comissão Central do Vestibular Unificado (CVU).

Resolução comentada

O que a questão pede: usar a projeção do MCU sobre o eixo $x$ , que é um MHS.

Passo 1 — fase inicial. $\cos\varphi_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ com $P$ no primeiro quadrante: $\varphi_0 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ . O ângulo de $P$ é

$\varphi(t) = 3\pi t + \frac{\pi}{6}$

e $x_Q = r\cos\varphi$ . O período é $T = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ s.

(01) Falsa. $Q$ volta ao mesmo ponto quando $\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ de novo: em $\varphi = \frac{11\pi}{6}$ (passando no sentido oposto), isto é, $t = \frac{5}{9}$ s, e com o mesmo sentido após um período, $t = \frac{2}{3}$ s. Nenhum desses é $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ s.

(02) Verdadeira. Em $t = \frac{1}{9}$ s:

$\varphi = \frac{3\pi}{9} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$P$ está no topo da circunferência, com velocidade horizontal; sua projeção $Q$ passa pela origem (centro do MHS) com velocidade máxima, $\omega r$ .

(04) Falsa. A aceleração de $Q$ é $a = -\omega^2 x$ : varia com a posição. O movimento é harmônico simples, não uniformemente acelerado.

(08) Falsa. O ângulo é $30^{\circ}$ ( $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ); $60^{\circ}$ daria $x = r/2$ .

(16) Verdadeira. Em $t = \frac{5}{18}$ s:

$\varphi = \frac{15\pi}{18} + \frac{\pi}{6} = \pi$

$P$ está em $(-r, 0)$ e $Q$ coincide com ele, no extremo do MHS. A resultante em $P$ é centrípeta, $m\omega^2 r$ ; a de $Q$ , no extremo, é $m\omega^2|x| = m\omega^2 r$ . Mesmo módulo.

⚠️ A armadilha: a (04). Velocidade angular constante significa MCU para $P$ , mas a projeção $Q$ acelera e desacelera de forma variável: é MHS.

A ideia em uma frase: a sombra de um MCU num diâmetro é um MHS: velocidade máxima no centro, aceleração máxima (igual à centrípeta) nos extremos.

Resposta: soma 18 (02 + 16).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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