UECE 2012.1 — questão 41 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a relação entre $R_1$ e $R_2$ para que a associação em série valha 4 vezes a associação em paralelo.

Passo 1 — as duas associações. Em série as resistências se somam; em paralelo, para dois resistores, vale “produto sobre soma”:

$$R_s = R_1 + R_2$$

$$R_p = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$

Passo 2 — impor a condição $R_s = 4R_p$:

$$R_1 + R_2 = \frac{4R_1R_2}{R_1 + R_2}$$

$$(R_1 + R_2)^2 = 4R_1R_2$$

Passo 3 — desenvolver:

$$R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2 = 4R_1R_2$$

$$R_1^2 - 2R_1R_2 + R_2^2 = 0$$

$$(R_1 - R_2)^2 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 = R_2$$

Conferindo: com $R_1 = R_2 = R$, a série vale 2R e o paralelo vale R/2. E 2R é exatamente 4 vezes R/2.

Por que não as outras: com $R_1 = 4R_2$ (ou $R_1 = R_2/4$, que é o mesmo par trocado), a série vale $5R_2$ e o paralelo $0{,}8R_2$: a razão é 6,25. Com $R_1 = 2R_2$, a razão é $3R_2 \div (2R_2/3) = 4{,}5$.

Um fato que ajuda: a razão série/paralelo é $(R_1+R_2)^2/(R_1R_2)$, que nunca é menor que 4, e vale 4 só quando os resistores são iguais.

⚠️ A armadilha: ler “quatro vezes” e passar o 4 direto para os resistores, marcando $R_1 = 4R_2$ (alternativa B). O 4 compara as associações, não os resistores.

A ideia em uma frase: a série é exatamente 4 vezes o paralelo só quando os dois resistores são iguais.

Resposta: alternativa A ($R_1 = R_2$).